今天上課有點無聊，想到之前中岩書討， 永暉問我關於墜落時繩子受力的問題，就拿筆算了一下。 只要假設設得好，其實不難算， PO文時間比我算的時間多上許多 XD 題目: 假設某 A 體重 W ，在岩壁上墜落，墜落時繩子放出長度 L，墜距 D。 墜落到繩自然長度後，持續延伸墜落至伸長 x 時停止。 不計空氣阻力及繩重，繩彈性在關注範圍內符合虎克定律，一米繩子之彈性係數為 k。 計算繩子最大受力並說明墜落係數之意義。 解: 墜落發生時，繩子之彈力常數 K = k/L。 力學能守恆可計算繩伸至最長時，重力位能全數轉為繩子彈力位能。 U = WD + Wx = Kx^2/2 解一元二次方程式，得 F = Kx = W + sqrt( W^2 + 2KWD ) = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = W + sqrt( W^2 + 2kW( Fall Factor ) ) 由此可知墜落發生時，繩子的最大受力，只和人之體重、繩子材料及墜落係數有關。 人的體重愈重、繩子彈性愈差、或墜落係數愈大，都會使繩之受力愈大。 類題1: 假設某 A 體重 800N。使用之動力繩，一公尺繩之彈性係數 k = 10000 N/m 攀爬至 10m 時發生墜落，墜距 2m，問其繩最大受力為何？ 解: F = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = 800 + sqrt( 800^2 + 2*10000*800*2/10 ) = 2760 N ~ 2.8 kN 此時，繩子伸長量 x = F / (k/L) = 2760 / (10000/10) = 2.76 m 意即在 2m 墜距結束之後，還會繼續下墜 2.76m 才會向上彈回。 體重 800N 相當於 82kg 左右。 一米彈性係數 k = 10000 N/m 之繩，在 30m 的靜止狀態懸掛 80kg 的人， 會延伸 2.4m ，和我們常用動力繩彈性差不多。 類題2: 承上題，若某 A 攀爬至 1.5m 時即發生嚴重先鋒墜落，墜距 3m，問其繩最大受力為何？ 解: F = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = 800 + sqrt( 800^2 + 2*10000*800*3/1.5 ) = 6513 N ~ 6.5 kN 此時，繩子伸長量 x = F / (k/L) = 6513 / (10000/1.5) = 0.98 m 意即在 3m 墜距結束之後，還會繼續下墜 0.98m 才會向上彈回。 依照這樣的計算，像是一般的大 D ，其受力承受範圍可達 20 kN ~ 25 kN ， 在應付各種墜落上，都是相當安全的。 但方向錯置的大 D ，受力承受範圍約只有 7 kN ~ 9 kN， 在最嚴重的先鋒墜落時，會有失敗的危險性。 繩子延伸距離也是考量因素，彈性好(虎克常數 k 較小者)的繩子緩衝較佳， 但額外的長度會使攀登者碰撞受傷的機會增加。 同樣利用高中物理，也可以估計墜落所需的時間。 自由落體墜距 D 所花時間為 sqrt( 2D/g ) 繩子緩衝啟動後，經歷的時間是簡協運動的半週期， 再加上彈簧自然長度到平衡點所需的時間： 2pi sqrt( m/K ) * [ 0.5 + arcsin{ W/[ W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ] } ] 套用類題1 或類題2 都是 2sec 左右，足夠讓人好好檢視人生跑馬燈啦！ 有哪裡算錯或那裡奇怪歡迎討論啦 :P -- Blossom! Commander and the leader, ╭══╮╭══╮╭══╮/ ∕ ∕ Bubbles! She is the joy and the laughter, ║╭╮║║╭╮║║╭═╯ ∕ ∕ Buttercup! She is the toughest fighter, ║╰╯║║╰╯║║║╭╮ ∕ ∕ Powerpuffs save the day! ☆PowerPuffGirl☆║╭═╯║╭═╯║╰╮║● ∕ Fighting crime ~ Trying to save the world ╰╯ower╰╯uff ╰●═╯irls∕ by Here they come just in time ~ The Powerpuff Girls ~~~ Powerpuff! ● Sgenius --

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