今天上课有点无聊，想到之前中岩书讨， 永晖问我关於坠落时绳子受力的问题，就拿笔算了一下。 只要假设设得好，其实不难算， PO文时间比我算的时间多上许多 XD 题目: 假设某 A 体重 W ，在岩壁上坠落，坠落时绳子放出长度 L，坠距 D。 坠落到绳自然长度後，持续延伸坠落至伸长 x 时停止。 不计空气阻力及绳重，绳弹性在关注范围内符合虎克定律，一米绳子之弹性系数为 k。 计算绳子最大受力并说明坠落系数之意义。 解: 坠落发生时，绳子之弹力常数 K = k/L。 力学能守恒可计算绳伸至最长时，重力位能全数转为绳子弹力位能。 U = WD + Wx = Kx^2/2 解一元二次方程式，得 F = Kx = W + sqrt( W^2 + 2KWD ) = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = W + sqrt( W^2 + 2kW( Fall Factor ) ) 由此可知坠落发生时，绳子的最大受力，只和人之体重、绳子材料及坠落系数有关。 人的体重愈重、绳子弹性愈差、或坠落系数愈大，都会使绳之受力愈大。 类题1: 假设某 A 体重 800N。使用之动力绳，一公尺绳之弹性系数 k = 10000 N/m 攀爬至 10m 时发生坠落，坠距 2m，问其绳最大受力为何？ 解: F = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = 800 + sqrt( 800^2 + 2*10000*800*2/10 ) = 2760 N ~ 2.8 kN 此时，绳子伸长量 x = F / (k/L) = 2760 / (10000/10) = 2.76 m 意即在 2m 坠距结束之後，还会继续下坠 2.76m 才会向上弹回。 体重 800N 相当於 82kg 左右。 一米弹性系数 k = 10000 N/m 之绳，在 30m 的静止状态悬挂 80kg 的人， 会延伸 2.4m ，和我们常用动力绳弹性差不多。 类题2: 承上题，若某 A 攀爬至 1.5m 时即发生严重先锋坠落，坠距 3m，问其绳最大受力为何？ 解: F = W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ) = 800 + sqrt( 800^2 + 2*10000*800*3/1.5 ) = 6513 N ~ 6.5 kN 此时，绳子伸长量 x = F / (k/L) = 6513 / (10000/1.5) = 0.98 m 意即在 3m 坠距结束之後，还会继续下坠 0.98m 才会向上弹回。 依照这样的计算，像是一般的大 D ，其受力承受范围可达 20 kN ~ 25 kN ， 在应付各种坠落上，都是相当安全的。 但方向错置的大 D ，受力承受范围约只有 7 kN ~ 9 kN， 在最严重的先锋坠落时，会有失败的危险性。 绳子延伸距离也是考量因素，弹性好(虎克常数 k 较小者)的绳子缓冲较佳， 但额外的长度会使攀登者碰撞受伤的机会增加。 同样利用高中物理，也可以估计坠落所需的时间。 自由落体坠距 D 所花时间为 sqrt( 2D/g ) 绳子缓冲启动後，经历的时间是简协运动的半周期， 再加上弹簧自然长度到平衡点所需的时间： 2pi sqrt( m/K ) * [ 0.5 + arcsin{ W/[ W + sqrt( W^2 + 2kW(D/L) ] } ] 套用类题1 或类题2 都是 2sec 左右，足够让人好好检视人生跑马灯啦！ 有哪里算错或那里奇怪欢迎讨论啦 :P -- Blossom! Commander and the leader, ╭══╮╭══╮╭══╮/ ∕ ∕ Bubbles! She is the joy and the laughter, ║╭╮║║╭╮║║╭═╯ ∕ ∕ Buttercup! She is the toughest fighter, ║╰╯║║╰╯║║║╭╮ ∕ ∕ Powerpuffs save the day! ☆PowerPuffGirl☆║╭═╯║╭═╯║╰╮║● ∕ Fighting crime ~ Trying to save the world ╰╯ower╰╯uff ╰●═╯irls∕ by Here they come just in time ~ The Powerpuff Girls ~~~ Powerpuff! ● Sgenius --

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