作者mj813 (薩坨十二惡皆空)
看板Math
標題[中學] 每一點都要經過
時間Thu Aug 7 20:51:48 2025
三列，每列八個點。
共24個點以棋盤式排列。
由左下角點作一路徑抵達右上角點，
（每步只能向上下左右走）
且每一點皆要經過一次。
則有幾種不同的路徑？
拜託各位了！感恩！
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1F：→ Ricestone : 64? 08/07 22:27
2F：→ Ricestone : 一開始只能選右跟上，沒有選上的話後面也都不能選下 08/07 22:32
3F：→ Ricestone : 而當你第一次選上之後整個棋盤會被一意地縮小成較小 08/07 22:33
4F：→ Ricestone : 的棋盤，只是起點跟終點變成同側的狀況 08/07 22:34
5F：→ Ricestone : 所以就直接同時討論同側跟異側的小棋盤再推廣 08/07 22:36
6F：→ Ricestone : 可知n>2時同側跟異側路徑數都是2^(n-2) 08/07 22:37
7F：→ Ricestone : 應該有比較好的辦法只是我可能忘了 08/07 22:37
8F：→ mj813 : 感謝 08/07 22:55
9F：→ Ricestone : 倒過來分析可能比較簡明 08/08 15:16
10F：→ Ricestone : 先定義一下符號，{a_n}是3*n的棋盤起終點異側的方法 08/08 15:17
11F：→ Ricestone : 數，{s_n}是同側的方法（路徑）數 08/08 15:17
12F：→ Ricestone : 則a_n將會是倒數一步為終點左側以及倒數一步為終點 08/08 15:19
13F：→ Ricestone : 下側的路徑數的和，而其中左側路徑數實際上會等於 08/08 15:20
14F：→ Ricestone : a_(n-1)，因為多的那兩點有且只有唯一的走法走完； 08/08 15:22
15F：→ Ricestone : 下側路徑則會是s_(n-1) （以上討論基於n>=2時） 08/08 15:24
16F：→ Ricestone : 另外由相似的討論可以知道s_n也一樣是s_(n-1)+ 08/08 15:25
17F：→ Ricestone : a_(n-1)，所以可以知道s_n=a_n，進一步可以知道 08/08 15:25
18F：→ Ricestone : 當n>2時a_n=2*a_(n-1)，又因a_2=1，所以a_n=2^(n-2) 08/08 15:28
19F：→ musicbox810 : 這是一筆畫問題嗎？ 08/08 19:17
20F：→ Ricestone : 如果不是每點經過且只經過一次應該沒辦法問 08/08 20:19
21F：→ Ricestone : 就是漢米頓路徑 08/08 20:19