※ 引述《mantour (朱子)》之銘言： : ※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之銘言： : : https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf : : 這個pdf的第4頁的問題 : : 一般的數學歸納法應該是 : : 已知n=1成立 : : 假設n=k成立 若能證明n=k+1成立 : : 就得證 : : 可是這題的證法是 : : 已知n=1,n=2成立 : : 證明n-1的case成立 : : 證明n-2的case成立 : : 所以得證 : : 我的問題有二點 : : 1.為什麼需要已知n=2成立? : : (而且n = 2 being easy to verify by hand.....?) : : 2.我猜它的邏輯是 因為n-1是n-2的特例 : : 所以在n-2成立的前題下 n-1必成立 所以得證 : : (但是這樣子的話就沒有必要特別去證n-1成立) : : 請問這題的證明邏輯是什麼呢? : : 仔細看一下, 他的論證邏輯可以改寫成以下型式 : (1) 容易驗證n=1和n=2成立 : (2) 若n=k和n=k+1都成立, 則n=k+2也成立 : (3) 根據數學歸納法得證 : 怎麼證明(2)呢 : 就是利用中間的lemma : 當 n=k+2時 : 對任意x_1~x_(k+2) : 存在 a,b 屬於 {1~k+2} : 使得t=-(x_a+x_b)/2時 : ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 : 此時 : 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 : >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| : 若 a=b, 不失其一般性設a=b=k+2 : 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 : + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 : + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 : = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 : + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 : + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 : = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) : >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因為n=k+1成立) : = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 : = 左式 : 所以n=k+2時也成立 : --------------------- : 若a不等於b, 不失其一般性設a=k+1, b=k+2 : 後面有點懶得寫總之應該是平移讓 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 : 右式變成前k項兩兩相加的絕對值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| : 帶入 n=k項的不等式, 再平移還原回左式 我很閒所以把m大的方法補齊 右式>=ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k+2 =化簡 =ΣΣ|x_i-x_(k+1)+x_j-x_(k+2)|;i,j=1~k +2Σ|x_i-x_(k+1)|;i=1~k +2Σ|x_j-x_(k+2)|;j=1~k +2|x_(k+1)-x_(k+2)|;令x_i'=x_i-x_(k+1),x_j'=x_j-x_(k+2) =ΣΣ|x_i'+x_j'|;i,j=1~k +2Σ|x_i'|;i=1~k +2Σ|x_j'|;j=1~k +2|x_(k+1)-x_(k+2)| >=ΣΣ|x_i'-x_j'|;i,j=1~k (因為n=k成立) +2Σ|x_i'|;i=1~k +2Σ|x_j'|;j=1~k +2|x_(k+1)-x_(k+2)| =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+1 +2Σ|x_j'|;j=1~k +2|x_(k+1)-x_(k+2)| =ΣΣ|x_i-x_j|;i,j=1~k+2 =左式 --

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