作者mantour (朱子)
看板Math
標題Re: [微積]Vector Triple Product A ×(B ×C ) 證明
時間Sat Jun 15 23:35:15 2024
若 B, C 平行, 所證顯然成立
對任意不平行的 B, C
令 C' = C - (C ·B)/|B|^2 B
則 B ·C' = 0 , B X C' = B X C
B 垂直 C', 配合右手定則
BX(BXC) = BX(BXC') = - |B|^2 C' = (B ·C) B - (B ·B) C
同理
令 B' = B - (C ·B)/|C|^2 C
CX(BXC) = CX(B'XC) = |C|^2 B' = (C ·C)B - (C ·B) C
因為 B, C 不平行, 因此 B, C , BXC 兩兩互不平行構成一組基底
故可以設 A = a (B X C) + b B + c C
則
AX(BXC)
= (bB + cC) X ( B X C)
= b BX(BXC) + cCX(BXC)
= b(B ·C) B - b(B ·B) C + c(C ·C)B - c(C ·B) C
= ((bB+cC)·C) B - ((bB + cC)·B) C
= (A·C) B - (A· B) C
有錯請指教
※ 引述《anoymouse (沒有暱稱)》之銘言：
: http://www.fen.bilkent.edu.tr/~ercelebi/Ax(BxC).pdf
: 請問最後Selecting arbitrarily...
: 為什麼隨意選的三個值有通用性? 怎麼確定再選其他值，λ也會是1?
: ----------------------------------------------------------------
: 從"one obtains"開始，這樣寫應該比較正確:
: m (A ·B) + n (A ·C) = 0
: m (A ·B) = -n (A ·C)
: 令λ = m/(A ·C) = -n/(A ·B)
: A ×(B ×C) = m*B + n*C
: A ×(B ×C) = λ*(A ·C)*B + (-λ)*(A ·B)*C
: 令A = 向量i, B= 向量j, C= 向量i，主要目標是希望(A ·B) 可以消失，
: 所以會變成:
: i ×(j ×i) = λ*(i ·i)*B + 0 = λ*B
: i ×(-k) = λ* j
: -(-j) = λ* j
: λ = 1.
: 另外隨意代入任意向量，λ都唯一原因:
: A ×(B ×C) = λ*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 假設存在λ_2 使得A ×(B ×C) =λ_2*[ (A ·C)*B - (A ·B)*C ]
: 則A ×(B ×C) / [ (A ·C)*B - (A ·B)*C ] = λ = λ_2
: 謝謝
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1F：→ musicbox810 : dual basis的概念 06/16 07:40
2F：→ mantour : Honor大的寫法直接用B跟C'當basis更簡潔 06/16 14:31