作者cuylerLin (cuylerLin)
看板Math
標題Re: [微積] power series
時間Fri Apr 19 02:05:24 2024
※ 引述《weljie966 (weljie)》之銘言：
: find a power series for f(x)=arctan(x) centered at3 and its interval of conver
: nce
: 想請教該怎麼做這題
（建議手機使用者橫向閱讀較為舒適）
剛剛有空寫了以下解析，基本上並沒有很難計算，也不需要用到二項式展開
題目我有稍微修正了一下，將「收斂區間」（interval of convergence）
改成「收斂區域」（region of convergence）比較恰當
https://imgur.com/EFnlYTx
https://imgur.com/AWjMVeT
最後補充一下，如果只是要找收斂半徑的話，
可以直接看中心 x=3 離最接近的 singularities i 以及 -i 的距離，即 根號10
有那裡打錯的話，歡迎網友們多多提出～
內文已儘量論述詳盡，希望有幫助到你的學習^^
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※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 02:15:07
1F：推 Vulpix : 問題只在這是微積分吧。複係數都是能不碰就不碰，還04/19 02:41
2F：→ Vulpix : 有收斂半徑要怎麼確定不會比√10大。04/19 02:42
3F：→ Vulpix : 例如1+x+x^2+...與-1-x-x^2-...兩個級數各自都有收04/19 02:43
4F：→ Vulpix : 斂半徑1，但是加起來之後，收斂半徑就變成∞了。04/19 02:44
5F：→ Vulpix : 我自己是覺得在微積分課程裡面分辨這些東西不容易。04/19 02:45
我是不知道「單純微積分」要怎麼有效處理這個問題就是了XD
至少依據我過往的訓練經驗除了硬炸開各種積分和 summation 之外別無他法，
甚至要化簡成我最後那邊的形式可能都是個問題
（這讓我想到很多實數積分的結果不也是透過複數平面上的路徑積分得來的嗎？）
實分析或者複分析有更好或者更嚴謹的工具，
例如這邊我們可以清楚知道是不能碰到 singular points 的
最後回到你的例子，在同樣的收斂半徑 R 之下，
sign incompatible 或 sign alternating coefficients
我們最多只能說收斂半徑「至少」會有 R
而實際是多少則要看最後相加的結果
6F：→ Vulpix : 這樣就能確定「頂多」多少了。04/19 04:06
7F：→ Vulpix : 當然如果這題是考研的，那可以用的手法就多了。04/19 04:07
8F：推 Vulpix : 至於端點的話，這題的類似題應該都可以用Abel test04/19 04:13
9F：→ Vulpix : 好像說錯了，要用Dirichlet test。04/19 04:18
或者其實我們都把 Laurent series 寫出來了，
邊界（端點）的斂散性可以代入檢查級數是否收斂
判斷方式例如用 alternating series test 大概就可以了，逐項遞減且極限為零
※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 20:09:58
10F：→ musicbox810 : cuy大可以把你們討論中的方法也打出來嗎？謝謝04/19 20:41
我們只是額外討論了收斂區域邊界上的點該如何檢查斂散性XD
與 原PO 的主要問題可能不太相關
針對這點，有了 power series representation 之後，
就當作你有一個級數，要怎麼判斷其斂散性而已
提到的那些檢測法或定理在微積分或高等微積分中都可以找到，
應該不會太艱澀
網路上例如維基百科也很容易找到完整理論描述～
※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 22:51:52
11F：推 Vulpix : 交錯可能不行，因為sin。 04/19 23:00
阿對，我直接 bound 掉漏看了XD
那就是 Dirichlet's test 了
※ 編輯: cuylerLin (27.51.145.238 臺灣), 04/19/2024 23:13:15