作者cuylerLin (cuylerLin)
看板Math
标题Re: [微积] power series
时间Fri Apr 19 02:05:24 2024
※ 引述《weljie966 (weljie)》之铭言：
: find a power series for f(x)=arctan(x) centered at3 and its interval of conver
: nce
: 想请教该怎麽做这题
（建议手机使用者横向阅读较为舒适）
刚刚有空写了以下解析，基本上并没有很难计算，也不需要用到二项式展开
题目我有稍微修正了一下，将「收敛区间」（interval of convergence）
改成「收敛区域」（region of convergence）比较恰当
https://imgur.com/EFnlYTx
https://imgur.com/AWjMVeT
最後补充一下，如果只是要找收敛半径的话，
可以直接看中心 x=3 离最接近的 singularities i 以及 -i 的距离，即 根号10
有那里打错的话，欢迎网友们多多提出～
内文已尽量论述详尽，希望有帮助到你的学习^^
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※ 编辑: cuylerLin (27.51.145.238 台湾), 04/19/2024 02:15:07
1F：推 Vulpix : 问题只在这是微积分吧。复系数都是能不碰就不碰，还04/19 02:41
2F：→ Vulpix : 有收敛半径要怎麽确定不会比√10大。04/19 02:42
3F：→ Vulpix : 例如1+x+x^2+...与-1-x-x^2-...两个级数各自都有收04/19 02:43
4F：→ Vulpix : 敛半径1，但是加起来之後，收敛半径就变成∞了。04/19 02:44
5F：→ Vulpix : 我自己是觉得在微积分课程里面分辨这些东西不容易。04/19 02:45
我是不知道「单纯微积分」要怎麽有效处理这个问题就是了XD
至少依据我过往的训练经验除了硬炸开各种积分和 summation 之外别无他法，
甚至要化简成我最後那边的形式可能都是个问题
（这让我想到很多实数积分的结果不也是透过复数平面上的路径积分得来的吗？）
实分析或者复分析有更好或者更严谨的工具，
例如这边我们可以清楚知道是不能碰到 singular points 的
最後回到你的例子，在同样的收敛半径 R 之下，
sign incompatible 或 sign alternating coefficients
我们最多只能说收敛半径「至少」会有 R
而实际是多少则要看最後相加的结果
6F：→ Vulpix : 这样就能确定「顶多」多少了。04/19 04:06
7F：→ Vulpix : 当然如果这题是考研的，那可以用的手法就多了。04/19 04:07
8F：推 Vulpix : 至於端点的话，这题的类似题应该都可以用Abel test04/19 04:13
9F：→ Vulpix : 好像说错了，要用Dirichlet test。04/19 04:18
或者其实我们都把 Laurent series 写出来了，
边界（端点）的敛散性可以代入检查级数是否收敛
判断方式例如用 alternating series test 大概就可以了，逐项递减且极限为零
※ 编辑: cuylerLin (27.51.145.238 台湾), 04/19/2024 20:09:58
10F：→ musicbox810 : cuy大可以把你们讨论中的方法也打出来吗？谢谢04/19 20:41
我们只是额外讨论了收敛区域边界上的点该如何检查敛散性XD
与 原PO 的主要问题可能不太相关
针对这点，有了 power series representation 之後，
就当作你有一个级数，要怎麽判断其敛散性而已
提到的那些检测法或定理在微积分或高等微积分中都可以找到，
应该不会太艰涩
网路上例如维基百科也很容易找到完整理论描述～
※ 编辑: cuylerLin (27.51.145.238 台湾), 04/19/2024 22:51:52
11F：推 Vulpix : 交错可能不行，因为sin。 04/19 23:00
阿对，我直接 bound 掉漏看了XD
那就是 Dirichlet's test 了
※ 编辑: cuylerLin (27.51.145.238 台湾), 04/19/2024 23:13:15