作者emptie ([ ])
看板Math
標題Re: [中學] 多項式函數
時間Sat Nov 11 23:38:31 2023
※ 引述《goodwang (手牽手一起去奔跑)》之銘言：
: https://i.imgur.com/IVn6oLf.jpg
: 以代入整數點來說是log以2為底，真數為x的函數
: 但要多項式函數，是跟馬克勞林級數有關嗎？
: 請問這題如何解決？謝謝
可以把原本的問題改寫成這樣
x的2023次方程式： f(2x) = f(x) +1
的解有 1,2,4,8,...2^2022 ，共2023個
整理後得到
f(2x) - f(x) -1 = 0
而這個方程式應該要等價於
k(x-1)(x-2)(x-4)...(x-2^2022) = 0
注意 f(2x) - f(x) 的常數項已經被消掉了，
故上面方程式的常數項 = -1
令S = 1+2+3+...+2022
下面的方程式常數項
-k(2*4*8*...*2^2022) = -1
得到 k = 1/2^S
f(2x) - f(x) 的x項係數就是f(x)的x項係數
（2倍-1倍 = 1倍）
k(x-1)(x-2)(x-4)....(x-2^2022) = 0 的x項係數則是
k* ( 2*4*...*2^2022 +
1* 4*...*2^2022 +
1*2* 8*...*2^2022 +
.
.
.
1*2*4*...*2^2021 )
也就是
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )
而連續2的次方加總可以如下化簡
例如 2^8+2^7+2^6
=2^8+2^7+(2^7-2^6)
=2^8+2^8-2^6
=2^9-2^6
也就是說
k*( 2^S + 2^(S-1) + 2^(S-2)+...+2^(S-2022) )
= k*( 2^(S+1) - 2^(S-2022) )
把 k = 1/2^S代入
(1/2^S) *( (2^(S+1) -2^(S-2022) )
=2 - 2^(-2022)
=2 - 1/ 2^2022
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1F：推 GameKnight : 觀察到常數項應為-sigma(1/(2^k-1)),k=0~2023， 11/12 00:07
2F：→ GameKnight : 所以可以用類似方法算出嗎，還是只能用克拉瑪？ 11/12 00:07
3F：→ GameKnight : k=1~2023才對 11/12 00:08
4F：推 cuteSquirrel: 猛 11/12 00:43
5F：推 goodwang : 厲害，感謝 11/12 06:25