※ 引述《DreamYeh (天使)》之銘言： : ※ 引述《NuCat (騎山豬撞教官)》之銘言： : : 我只想請教一個簡單的問題 : : 例如　7 除以 3 大家都知道會除不盡的　 : : 會變成無限小數　 2.3333333333....................... : : 但是因為我們從小學的是10進位制　習慣以10進位思考 : : 假設今天換成是7進位　或者3進位　　結果會不同、變得可以除盡嗎？ : : 同理　圓周率π　 : : 大家也都知道他是一個無理數　連換成分數都無法 : : 假設換了一個進位制　結果會不同嗎？ : : 真心尋求解答　 : : 鞭小力點　　謝謝各位先進大賢 : 設N為有理數，依照定義，存在a,b為整數使 N=a/b : 則換成7進位、3進位..無論任意進位法， : a,b必定都能表達為整數。 : Ex.. : 3/7 = 011/111(二進位) = 010/021(三進位) = 003/013(四進位) ..... : 由於換成任意進位法，N仍然存在a,b為整數(只是用不同進位制表示) : 且N=a/b，因此N仍然是有理數。 : 無理數推法就上述證法用反證法即可 : 簡單來說換進位制不會導致 有理數變無理數、無理數變有理數 : 但換進位法可能讓「原先有限循環小數變無限循環小數」 : 範例： : 0.1（十進位）＝0.00011001100110011....（二進位） : 可用無窮等比級數的和來證明 我覺得這有理數換進位，還是有理數 無理數換進位換進位還是無理數 應該跟cardinality是有關的 eg:10進位p/q 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 ... 3/1 3/2 3/3 ... 4/1 4/2 ... 5/1 ... inorder: 1/1(p+q=2) => 2/1 1/2(p+q=3) => 3/1 2/2(X) 1/3(p+q=4) => ... 也就是斜著往上，一層一層往下列舉，重複的丟掉 eg: 3進位 1/1(十進位1/1)(p+q=2) => 2/1(十進位2/1) 1/2(十進位1/2) (p+q=3) => 10/1(十進位3/1) 2/2(X,十進位1/1=2/2) 1/10(十進位1/3) (p+q=4) => 11/1(十進位4/1) 10/2(十進位3/2) 2/10(十進位2/3) 1/11(十進位1/4)(p+q=5) => ... 可以發現換進位制，還是可以找到相似的bijection ie f:N->D(N) (rational decimal) g:N->C(N) (C進位有理數) -1 f g => D(N)-> N-> C(N) -1 g○f : D(N) -> C(N) is a bijection 即有理10進位數和有理C進位數可以1個1個綁再一起視為同一個東西，不多不少 每一個都可以對應到(唯一的)另一個 --

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