作者deathcustom (Full House)
看板Math
標題Re: [幾何] 1/4圓內接正方形面積
時間Mon Oct 3 09:50:05 2022
※ 引述《DingLey (丁力)》之銘言：
: https://www.youtube.com/watch?v=6OfWw_etYUU
: 這youtube影片說,有一個四分之一圓, 其半徑=1
: 求其內接正方形面積?
: 我看下面留言說,設正方形的對角線長=D
: 又因為正方形的對角線長總是邊長的根號2倍, 故正方形面積是(D^2)/2
: 然後又說:根據畢氏定理, (D/2)^2+D^2=r^2=1 得D^2=0.8
: 所以正方形面積是0.4
: 可是,這算法我怎麼看,怎麼怪 @@
: 難道正方形的對角線就一定垂直於X軸嗎?
(法二)
此正方形設其對角線為2x
則由圖可知
x*sqrt(5) = R = 1
x = 1/sqrt(5)
Area = (2x)^2/2 = 2*x^2 = 2/5
為什麼這樣呢?因為(就如他所說)
this square can't sit in any other place and still maintain contact......
只有剛好45度的狀況下才能兩個角在弧上兩個角在x-axis and y-axis
proof:
設正方形邊長1
兩角分別位於x軸(x,0)與y軸(0,sqrt(1-x^2))
則另外兩角分別位於
(x+sqrt(1-x^2),x)與(sqrt(1-x^2),x+sqrt(1-x^2))
另外兩角與原點(0,0)的距離平方分別為
x^2 + x^2+1-x^2+2x*sqrt(1-x^2)
1-x^2+x^2+1-x^2+2x*sqrt(1-x^2)
因此只有當x^2=1-x^2時，另外兩頂點才會剛好在圓弧上
而如此一來必然只有45度這個結果 QED
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