作者deathcustom (Full House)
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标题Re: [几何] 1/4圆内接正方形面积
时间Mon Oct 3 09:50:05 2022
※ 引述《DingLey (丁力)》之铭言：
: https://www.youtube.com/watch?v=6OfWw_etYUU
: 这youtube影片说,有一个四分之一圆, 其半径=1
: 求其内接正方形面积?
: 我看下面留言说,设正方形的对角线长=D
: 又因为正方形的对角线长总是边长的根号2倍, 故正方形面积是(D^2)/2
: 然後又说:根据毕氏定理, (D/2)^2+D^2=r^2=1 得D^2=0.8
: 所以正方形面积是0.4
: 可是,这算法我怎麽看,怎麽怪 @@
: 难道正方形的对角线就一定垂直於X轴吗?
(法二)
此正方形设其对角线为2x
则由图可知
x*sqrt(5) = R = 1
x = 1/sqrt(5)
Area = (2x)^2/2 = 2*x^2 = 2/5
为什麽这样呢?因为(就如他所说)
this square can't sit in any other place and still maintain contact......
只有刚好45度的状况下才能两个角在弧上两个角在x-axis and y-axis
proof:
设正方形边长1
两角分别位於x轴(x,0)与y轴(0,sqrt(1-x^2))
则另外两角分别位於
(x+sqrt(1-x^2),x)与(sqrt(1-x^2),x+sqrt(1-x^2))
另外两角与原点(0,0)的距离平方分别为
x^2 + x^2+1-x^2+2x*sqrt(1-x^2)
1-x^2+x^2+1-x^2+2x*sqrt(1-x^2)
因此只有当x^2=1-x^2时，另外两顶点才会刚好在圆弧上
而如此一来必然只有45度这个结果 QED
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