※ 引述《tankking2002 (特務)》之銘言： : 1.https://i.imgur.com/FsWqK5m.gif : 猜測是用夾擠定理，但是如果全部都用第一項之和，還有最後一項之和，極限值會不同。 答案是 3(√5 -1)/4。 a_n 是 ∫_0^1 3xdx/√(1+4x^2) 的黎曼和，所以極限就是這個積分。 如果要夾擠的話，可以用這個夾： (k+1)^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 > k^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 開根號得 (k+1)√(1+4k^2/n^2) > k√(1+4(k+1)^2/n^2) 同加一項 (k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2) 後得 (k+1)√(1+4k^2/n^2)+(k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2) > (2k+1)√(1+4(k+1)^2/n^2) 把根號移項到分母後，順便把右式有理化得 (k+1)/√(1+4(k+1)^2/n^2) > (2k+1)/(√(1+4(k+1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2)) = n^2*(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4 同乘 3/n^2 得 3(k+1)/√(n^4+4(k+1)^2*n^2) > 3(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4 把 k 從 0 到 n-1 的上式全部加起來得 a_n > 3(√5 -1)/4 另一半可以用 (k+1)^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 > k^2 + 4k^2*(k+1)^2/n^2 => (k+1)√(1+4k^2/n^2) > k√(1+4(k+1)^2/n^2) => (2k+1)√(1+4k^2/n^2) > k(√(1+4(k-1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2)) => k/√(1+4k^2/n^2) < (2k+1)/(√(1+4(k+1)^2/n^2) + √(1+4k^2/n^2)) = n^2*(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4 => 3k/√(n^4+4k^2*n^2) < 3(√(1+4(k+1)^2/n^2) - √(1+4k^2/n^2))/4 把 k 從 1 到 n 的式全部加起來得 a_n < 3(√(1+4(n+1)^2/n^2) - √(1+4/n^2))/4 然後就可以夾出來了。 至於這個夾法怎麼看出來的？ 積分來的啊XD : 2.https://i.imgur.com/NK2onel.gif : 2^2023-2的末三位數字是多少？ : 有嘗試用2^10=1024去想，但是24的次方不好處理。 : 有參考板上的一篇文章2011=2000+10+1的二項式定理展開 : 但是1024=1000+20+4的20和4還是沒辦法處理 : 希望大家能給點靈感或方向，能有解法更好，謝謝大家 答案是 606。 先 mod 8，2^2023≡0 再 mod 125，2^2023≡2*(5-1)^1011≡2*(-1+1011*5-(1011*1010/2)*25) ≡2*54≡108 因為 8*47+125*(-3)=1 （可以從輾轉相除法直接得到） 所以 2^2023≡8*47*108≡40608≡608 (mod 1000) 然後 2^2023-2≡608-2≡606 (mod 1000) 其實 mod 1000 的循環節長度是 100，所以也可以直接看 2^23。 證明：2^100≡1024^10≡(20+4)^10 ≡45*400*4^8+10*20*4^9+4^10 ≡10*20*262144+24^2≡800+576≡376 所以 2^103≡376*8≡3008≡8≡2^3 那麼 2^2023≡2^23≡24*24*8≡576*8≡76*8≡608 我沒證過的猜想： 除數每多一個 0，循環節長度好像就是變成五倍。 至少隨便看了一下 mod 10000 是對的，循環節長度的確是 500。 -- 信箱空間有限，一般問題請善用推文/回文。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1648587707.A.490.html 啊……對呴。數論跟代數都忘得差不多了。 所以從五的冪次的末兩位開始，循環節長度的公比是 2 也一樣可以解釋。 那這樣這題簡單很多了啊。 ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 04/08/2022 17:05:11