作者arrenwu (不是綿芽的錯)
看板Math
標題Re: [幾何] 請問關於孟氏/西瓦的一題證明
時間Thu Mar 17 09:12:28 2022
※ 引述《gwendless (望月‧老蔣)》之銘言：
: https://imgur.com/a/Bj3uGWT
: 如圖
: 目前想過很多角度去看孟氏定理，
: 但湊不出題目所求的恆等式
: 求點破盲點，謝謝。
要得到那個恆等式，缺少的條件是
BC = 2CD
https://i.imgur.com/syBcnYL.jpg
因為G是重心，所以有
BC = 2BH = 2HC
1/GF + 1/GD - 1/GE = 0 ←→ 1 + GD/GF - GD/GE = 0 (同乘 GD)
所以下面我們要分析的就是
1 + GD/GF - GD/GE
1. 對三角形 BDF 和 線段 A-G-H 使用孟式定理，可得：
DH/HB * AB/AF * GF/GD = 1
這式子可以整理成
GD/GF = DH/HB * AB/AF .........(1)
2. 對三角形 ABF 和 線段 D-G-F 使用孟式定理，可得：
AF/BF * BD/DH * HG/GA = 1
因為G是三角形的重心，所以 HG/GA = 1/2。上面的式子可以寫成
AB/AF = BD/(2DH) ............(2)
(1),(2): GD/GF = DH/HB * AB/AF
= DH/HD * BD/(2DH)
= BD/(2HB)
= BD/BC
= (BC+CD)/BC
= 1 + CD/BC ....................(3)
3. 對三角形 AHC 和 線段 D-E-G 使用孟式定理，可得
DC/CH * HA/AG * GE/ED = 1
因為G是重心，所以 HA/AG = 3/2
上面式子可以整理成
ED/GE = 3DC/2HC = 3DC/BC .....................(4)
所以 GD/GE = (GE+ED)/GE
= 1+ ED/GE
(4)
= 1+ 3DC/BC ......................(5)
4. 現在回到
1 + GD/GF - GD/GE：
(3)
1 + GD/GF - GD/GE = 1 + 1 + CD/BC - GD/GE
(5)
= 2 + CD/BC - (1+3CD/BC)
= 1-2CD/BC
所以這題目的等式要成立的話，1-2CD/BC 必須等於0，也就是 BC = 2CD
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與角卷綿芽去KTV唱歌
https://i.imgur.com/VFmibkg.jpg
https://i.imgur.com/174vz3L.jpg
原圖出處：
https://twitter.com/Iwahadada/status/1384422041240039428
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※ 編輯: arrenwu (98.45.135.233 美國), 03/17/2022 09:15:48