: http://i.imgur.com/8Bo1lfW.jpg 第四題，雖然有點超出國中範圍內了，還是給個解法... 應該還是有參考價值吧XD 1. 因為待證的長度都長在同一條直線上， 所以對整個三角形進行仿射變換（affine transform）不影響結果 所以，如果要用解析幾何證，可以任意設定三角形座標而不失一般性。 2. 設定最方便的坐標系： 令G(0,0)，A(-1,-1)，B(-1,2)，C(2,-1)。 這樣，經過一個等比例變換，假設D、E、F的x座標各為x1，x2，x3， 只需要證明x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0。 3. 我們知道直線AB、BC、CA的方程式分別為 x+1=0、x+y-1=0、y+1=0。 所以三次式(x+1)(y+1)(x+y-1)=0為包含三角形的三條直線之聯集。 因為D、E、F、G共線，假設直線方程式為y=mx。 4. 將y=mx帶入三次式，會得到一個x的三次方程式。 x1、x2、x3為該方程式的三根。 x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0等價於該方程式的一次項為0。 所以只需要檢查(x+1)(mx+1)((m+1)x-1)的一次項為0。 因為還真的是0，故得證。 --

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