: http://i.imgur.com/8Bo1lfW.jpg 第四题，虽然有点超出国中范围内了，还是给个解法... 应该还是有参考价值吧XD 1. 因为待证的长度都长在同一条直线上， 所以对整个三角形进行仿射变换（affine transform）不影响结果 所以，如果要用解析几何证，可以任意设定三角形座标而不失一般性。 2. 设定最方便的坐标系： 令G(0,0)，A(-1,-1)，B(-1,2)，C(2,-1)。 这样，经过一个等比例变换，假设D、E、F的x座标各为x1，x2，x3， 只需要证明x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0。 3. 我们知道直线AB、BC、CA的方程式分别为 x+1=0、x+y-1=0、y+1=0。 所以三次式(x+1)(y+1)(x+y-1)=0为包含三角形的三条直线之联集。 因为D、E、F、G共线，假设直线方程式为y=mx。 4. 将y=mx带入三次式，会得到一个x的三次方程式。 x1、x2、x3为该方程式的三根。 x1^(-1)+x2^(-1)+x3^(-1)=0等价於该方程式的一次项为0。 所以只需要检查(x+1)(mx+1)((m+1)x-1)的一次项为0。 因为还真的是0，故得证。 --

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