作者adamchi (adamchi)
看板Math
標題[中學]高中數學競賽題
時間Fri Mar 5 00:11:17 2021
1.設n是使得149^n-2^n可以被3^3*5^5*7^7整除的最小正整數.
試問n的正因數的個數為何?
答:270
2.設點D在三角形ABC的線段BC上使得線段AD為角BAC的角平分線,
線段AD的中垂線分別交角ABC與角ACB角平分線於E.F兩點.已知
線段AB=4,線段BC=5,線段CA=6,三角形AEF的面積為(m*n^(1/2))/p,
其中m與p為互質的正整數,且正整數n不能被任何質數的平方整除.
試問m+n+p之值為何?
答:36
3.設P(x)是一個係數為複數的二次多項式,且x^2的係數為1.已知P(P(x))=0
有四個相異解x=3,4,a及b,試問(a+b)^2所有可能值的總和為何?
答:85
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1F：推 chemmachine : 第一題用ind_r a函數和wolfram可以算出來 03/05 21:16
2F：→ chemmachine : n=3^2*2^2*5^4*7^5 03/05 21:18
3F：→ chemmachine : 正因數個數=(2+1)*(2+1)*(4+1)*(5+1) 03/05 21:19
4F：推 chemmachine : 149^n==2^n mod3^3*5^5*7^7拆解=>149^n==2^n mod3^3 03/05 22:48
5F：→ chemmachine : 149^n==2^n mod5^5 149^n==2^n mod7^7 n為三式的 03/05 22:49
6F：→ chemmachine : 最小公倍數 03/05 22:49
7F：→ chemmachine : 3的primitive root查表得2 5的primitive root查表 03/05 22:49
8F：→ chemmachine : 得2 7的primitive root得2 149^n==2^n mod3^3取ind 03/05 22:50
9F：→ chemmachine : 更正7的primitive root=3 03/05 22:50
10F：→ chemmachine : ind_2 149^n==ind_2 2^n mod phi(3^3) phi為歐拉函 03/05 22:51
11F：→ chemmachine : 數 03/05 22:52
12F：→ chemmachine : n*ind_2 149==n*ind_2 2 mod phi(3^3) 03/05 22:53
13F：推 chemmachine : ind_2 149 mod phi 3^3等價於 least n使2^n==149mod 03/05 22:55
14F：→ chemmachine : 3^3 要計算2^n==149mod 3^3用 wolfram函數 03/05 22:57
15F：→ chemmachine : MultiplicativeOrder[2,3^3(改27),149]=17 03/05 22:59
16F：→ chemmachine : 此式化為n*17==n*1 因ind_2 2=1 mod phi(3^3) 03/05 23:00
17F：→ chemmachine : (3^3-3^2)|(17n-n) 得18|16n n=9=3^2 同理 03/05 23:01
18F：→ chemmachine : 149^n==2^n mod5^5推得n=2^2*5^4 149^n==2^n mod7^7 03/05 23:02
19F：→ chemmachine : 推得 n=7^5 故得解 03/05 23:03
20F：→ chemmachine : 這個方法要弄懂ind_r a=n mod phi(m)等價於 03/05 23:04
21F：→ chemmachine : a^x==n mod m ，r是m的primitive root 然後看懂 03/05 23:05
22F：→ chemmachine : wolfram函數 03/05 23:05
23F：推 chemmachine : 更正 ind_r a=n mod phi(m)等價於r^n==a mod m 03/06 10:02
24F：→ chemmachine : wolfram的工作其實可以手算替代 雖然也很難算 03/06 10:44
25F：→ chemmachine : 以2^n==149mod 3^3 來說 n取phi(3^3)的因數 ，從大 03/06 10:45
26F：→ chemmachine : 到小檢驗 phi3^3 =2*3^2 列因數 2*3^2>3^2>2*3>3>2 03/06 10:46
27F：→ chemmachine : >1 檢驗 149^n==2^n mod3^3 03/06 10:48
28F：→ chemmachine : 5^5 用 phi5^5=4*5^4 >5^4 >4*5^3>5^3>4*5^2>5^2> 03/06 10:49
29F：→ chemmachine : 4*5>5>4>1 大概檢查道第二或三個就結束了 03/06 10:50
30F：推 chemmachine : 基本上是初等數論 index， order，primitive root 03/06 10:54
31F：→ chemmachine : 改的，有習題 比你的題目數字小很多就是了 03/06 10:55
32F：推 chemmachine : 第二題幾何 用解析法硬解 把abc點算出座標 算出 03/06 12:27
33F：→ chemmachine : 直線方程AD 03/06 12:28
34F：→ chemmachine : 再列出線段AD的中垂線方程角ABC與角ACB角平分線方程 03/06 12:29
35F：→ chemmachine : 得E和F座標，再用三角形座標面積行列式算出AEF面積 03/06 12:30