作者NASAlion (最愛健身小刺蝟)
看板Math
標題[中學] 互質的證明
時間Wed Dec 2 10:19:13 2020
請教先進一個證明
若a,b互質，則a+b和a×b必互質
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1F：→ suker : 令(a+b,ab)=d, d│a+b且d│ab 12/02 10:37
2F：→ suker : 則d│(a+b)*(b)+ a*b(-1)=b^2 12/02 10:38
3F：→ suker : d│(a+b)(a)+a*b(-1)=a^2 12/02 10:38
4F：→ suker : 得d│(a^2,b^2);(a,b)=1 a,b互質 d=1 12/02 10:39
5F：→ Sfly : Gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1. Hence gcd(a+b, 12/02 15:29
6F：→ Sfly : ab)=1. 12/02 15:29
7F：→ yyc2008 : 請問gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)怎麼得到? 12/02 15:37
8F：→ yyc2008 : gcd(a,b)|(a+b),怎麼確定gcd(a,b)也是a+b和a的最大 12/02 16:16
9F：→ yyc2008 : 公因數呢? 12/02 16:16
10F：推 matsunaga : 輾轉相除法就可以說明了 12/02 16:25
11F：→ matsunaga : 回yuck的留言 12/02 16:25
12F：推 LPH66 : 寫成 gcd(a+b,a)=gcd(a,b)=gcd(a+b,b) 應該清楚些 12/02 17:30
13F：推 yyc2008 : 謝謝LPH大 好像懂了 12/02 19:18
14F：→ yyc2008 : 等一下a=qr+k k>q時 gcd(a,q)=gcd(q,k)也成立嗎? 12/02 19:56
15F：→ LiquidTLO : gcd(a,q)=gcd(q, a mod q)=gcd(q,k) 12/02 20:20
16F：→ yyc2008 : 假設a>b gcd(a+b,a)=gcd(a,b)可以了解但是gcd(a+b,b 12/03 00:17
17F：→ yyc2008 : gcd(b+a,b)=gcd(a,b)這一步就不知道怎麼得 當a>b 12/03 00:18
18F：推 ERT312 : Let A={n∈N:n|a & n|b}, B={n∈N:n|a+b & n|b} 12/03 00:56
19F：→ ERT312 : 易證 A=B, 所以若 Max A 存在, Max A = Max B 12/03 00:57
20F：→ TimcApple : 設 c = gcd(b+a,b), d = gcd(a,b) 12/03 01:37
21F：→ TimcApple : c | a+b, c | b, 因此 c | a, 於是 c | d 12/03 01:37
22F：→ TimcApple : d | a, d | b, 因此 d | b+a, 於是 d | c 12/03 01:37
23F：→ TimcApple : 得到 c = d 12/03 01:37
24F：→ TimcApple : 不要光只會用 gcd(a, b) = gcd(b, r) 12/03 01:37
25F：→ TimcApple : 多用 gcd 原本的定義ow o 12/03 01:37
26F：推 yyc2008 : 謝謝E, T大, 我懂了 以後自己多想想 12/04 13:50