作者algebraic (algebraic)
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標題Re: [中學] 請教中學數學一題
時間Wed Oct 28 15:17:12 2020
※ 引述《hahaha2009 (hahaha)》之銘言：
: 請問各位大大..
: 已知a,b是正整數
: a^2+b^2除以a+b，商q餘r，並且q^2+r=1831，求(a,b)有幾組?
: 謝謝
個人拙見
令 a+b = k，則 a^2+b^2 = 2(a-k/2)^2+k^2/2
故 k^2/2 <= a^2+b^2 <= k^2
而因為 0 <= r < a+b = k
所以 kq <= a^2+b^2 = kq+r < k(q+1)
因此 kq <= k^2 且 k^2/2 < k(q+1)
整理得 q <= k < 2(q+1)
另一方面，因為 q,r 皆為非負整數
所以從 q^2+r = 1831 中可知 q 屬於 {0, 1, ..., 42}
(註：41^2=1681, 42^2=1764, 43^2=1849)
故 r < k < 2(q+1) <= 86
且得 q^2 = 1831-r > 1831-86 = 1755
由此可知 q = 42, r = 67，且原式為 a^2+b^2 = (a+b)*42+67
現在考慮 a+b = k 的所有可能性
我們知道 67 = r < k 且 k < 2(q+1) <= 86
故 67 < k < 86
而從 a^2+b^2 = (a+b)*42+67 中
考慮 mod 2 可得 a+b 為奇數
考慮 mod 3 可得 a+b 不為3的倍數
考慮 mod 5 可得 a+b = 0 或 4 mod 5
在 68~85 之間的整數中
只有 79 和 85 符合以上三個條件
考慮 a+b = 79 可得 a^2+b^2 = 79*42+67 = 3385
且此可解出 (a,b) = (51,28) 或 (28,51)
考慮 a+b = 85 可得 a^2+b^2 = 85*42+67 = 3637
且此可解出 (a,b) = (46,39) 或 (39,46)
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1F：推 TimcApple : 推 我一直覺的過程太冗 這個方法好多了 10/28 17:27
2F：推 Panthalassa : 好奇 q<r 符合題意「商q餘r」嗎 當然這題q>r無解 10/29 03:27
3F：推 LPH66 : 符合啊: 17 除以 6 商 2 餘 5 沒有什麼問題 10/29 03:57
4F：→ LPH66 : 餘數要小於的是除數不是商 10/29 03:58
5F：推 Panthalassa : 謝謝樓上 抱歉 一時轉不過來 10/29 08:18