作者jr80939393 (jr80939393)
看板Math
標題[其他] 將多面體的不等式改變方向，如何證明其會
時間Tue Oct 13 13:39:34 2020
如圖，X是一個多面體，我將他的限制式之不等式全部改變方向，要說他是空集合，要怎麼寫出比較完整的證明。
我用反証法或直接証法，中間都會有一些細節寫不清楚，所以上來問板上的高手，可以給我一點建議，謝謝大家。
https://i.imgur.com/jlDaafL.jpg
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1F：推 sunev : 三角形？ 10/13 15:28
2F：推 arthurduh1 : 令 X 是由 Mx ≧ c 的 x 決定的多面體 10/13 15:37
3F：→ arthurduh1 : 假設有 y 使得 My < c，那麼對於任意的 n > 0 10/13 15:41
4F：→ arthurduh1 : 皆有 M(x+n(x-y)) ≧ c，也就是 x+n(x-y) ∈ X 10/13 15:42
5F：→ arthurduh1 : 這與多面體是 bounded 矛盾 10/13 15:43
6F：→ arthurduh1 : 以上的不等式皆是 componentwise inequality 10/13 15:44
7F：推 LPH66 : 上面的證明用直覺化一點的方式說就是 10/13 20:00
8F：→ LPH66 : 假如有這樣的 y 其與 x 都在多面體每個面的異面 10/13 20:00
9F：→ LPH66 : 那從 y 出發往 x 走, 只要走過 x 之後 10/13 20:01
10F：→ LPH66 : 就會一直在多面體裡, 這和多面體有限大矛盾 10/13 20:01
11F：→ jr80939393 : 謝謝樓上的高手們回答！ 10/13 22:48
12F：→ musicbox810 : 想請問任意的n都符合是對的嗎?n取很小,靠近y就不對 10/14 08:16
13F：→ musicbox810 : 了吧?就算穿過去到x,如果n非常大,就會穿過多面體另 10/14 08:19
14F：→ musicbox810 : 外一面,為什麼還能保證大於等於c? 10/14 08:20
15F：推 LPH66 : n > 0, 所以才說「走過 x 之後」 10/14 10:46
16F：→ LPH66 : n(x-y) 表示再走 "由 y 到 x 方向的 n 倍" 10/14 10:46
17F：→ LPH66 : 那因為 x 和 y 在某個平面的異側, 走過 x 之後的點 10/14 10:48
18F：→ LPH66 : 一定和 x 同側; 計算上來說就只是 n(Mx-My) 而已 10/14 10:49
19F：→ LPH66 : 而正是因為對所有多面體的平面這件事都成立才有矛盾 10/14 10:49
20F：→ LPH66 : (即你所謂的"穿過多面體另外一面" 10/14 10:49
21F：→ LPH66 : 這是"多面體有限大"的推論 10/14 10:50
22F：→ LPH66 : ) 因此就能反證出 y 存在是錯的了 10/14 10:51
23F：→ hwanger : 從原po定義的X來看 應該是只討論"凸"多面體的情況 10/14 12:09
24F：→ hwanger : 此時所謂用幾何的直觀來證明應該如下 10/14 12:09
25F：→ hwanger : 固定多邊形內部一個點P 對空間中的任一通過P直線L 10/14 12:09
26F：→ hwanger : L交此凸多面體是該線上的一個閉區間 所以多面體至少 10/14 12:10
27F：→ hwanger : 有兩面其外側交集在該線上是空集合 令H_i是多面體其 10/14 12:11
28F：→ hwanger : 中第i面的外側半空間 ∩H_i = (∩H_i)∩(∪L) 10/14 12:11
29F：→ hwanger : = ∪(∩H_i∩L) = empty set 10/14 12:11
30F：→ hwanger : 而a大證明的幾何意義是指考慮這樣的x y存在 則考慮 10/14 12:16
31F：→ hwanger : xy的直線L 因為x在∩(H_i)'∩L上 y在∩(H_i)∩L上 10/14 12:20
32F：→ hwanger : 又(H_i)'∩L和H_i∩L都是半直線 所以就一維的數線直 10/14 12:22
33F：→ hwanger : 觀上來看 我們應該要有∩(H_i)'∩L和∩H_i∩L都要半 10/14 12:23
34F：→ hwanger : 射線(不過這是我自己證明一開始意圖 不一定是a大的 10/14 12:24
35F：→ hwanger : 原意) 10/14 12:24