作者hanabiz (等天放晴 到大溪地)
看板Math
標題[線代] 三題
時間Mon Sep 28 11:30:48 2020
https://imgur.com/jcwkhas
想請問這三題如何解？
第三題我推到T(U)不等於S 感覺沒這麼簡單
另兩題沒頭緒
謝謝大大幫忙!!!
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※ 編輯: hanabiz (39.8.162.251 臺灣), 09/28/2020 11:31:34
1F：→ hwanger : 第4題 對所有T和所有S 交集非0 若且唯若 09/28 13:03
2F：→ hwanger : (n-dim(T(U)) + dim(S) >= n+1 又0<= dim(T(U))<=i 09/28 13:08
3F：→ hwanger : 所以j>=i+1 09/28 13:09
4F：→ hwanger : 第5題 分別對n是even和n是odd作數學歸納法 可得 09/28 13:10
5F：→ hwanger : (n even) det= -n^2/4 + 1; (n odd)det=-(n^2-5)/4 09/28 13:12
6F：→ hwanger : 第6題 3階的特徵多項式是 x^3-2*x^2-14x-3 而6階的 09/28 13:14
7F：→ hwanger : 是 x*(x+1)^2*(x^3-2*x^2-14x-3) 所以有3個共同的特 09/28 13:15
8F：→ hwanger : 徵值 09/28 13:16
9F：→ hanabiz : 謝謝！第4題還是不太懂 可以再多一些說明嗎？ 09/28 16:00
10F：→ hanabiz : 第5題是怎麼看出這個規律的？太神奇了…… 09/28 16:16
11F：→ hwanger : 先修正一個typo: (m-dim(T(U)) + dim(S) >= m+1 09/28 18:05
12F：→ hwanger : Lemma 1:Let U,W be subspaces of V. Then 09/28 18:08
13F：→ hwanger : dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) = dim(U+W) >= dim(V) 09/28 18:12
14F：→ hwanger : 由Lemma 1可很容易推得給定一個U 若我們要對所有 09/28 18:15
15F：→ hwanger : subspace W of dimension k都有W∩U不是{0} 則我們 09/28 18:17
16F：→ hwanger : 必須要該dim(U)+dim(W)>=dim(V) 09/28 18:20
17F：→ hwanger : 上面lemma有個打錯的地方 應該是 09/28 18:21
18F：→ hwanger : dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) = dim(U+W) <= dim(V) 09/28 18:21
19F：→ hwanger : 若dim(U)+dim(W)<=dim(V) 那我們總是找得到W使得 09/28 18:23
20F：→ hwanger : W∩U=0 09/28 18:24
21F：→ hwanger : 回到第4題 現在給一個subspace T(U)^⊥ 則其維度為 09/28 18:26
22F：→ hwanger : m-dim(T(U)) 故若我們希望對所有subspace S of dim 09/28 18:28
23F：→ hwanger : j S∩T(U)^⊥不是零 則(n-dim(T(U)) + i>=m+1 09/28 18:30
24F：→ hwanger : [09/28 18:20]typo: dim(U)+dim(W)>dim(V) 09/28 18:30
25F：→ hwanger : 至於0<= dim(T(U))<=i 是因為image的dim只會減少 不 09/28 18:35
26F：→ hwanger : 會增加 09/28 18:35
27F：推 hwanger : 會增加 09/28 18:38
28F：→ hwanger : 第5題是用程式(SageMath)算一百項 再找規律 如下 09/28 18:44
30F：→ hwanger : 第6題也是用程式算的 如下 09/28 18:46
32F：推 arthurduh1 : 5. 減去 I 之後是個 rank 2 的矩陣，易猜測特徵向量 09/28 20:41
33F：→ arthurduh1 : 形如 (a, b, a, b, ...)，用其附帶求出特徵值， 09/28 20:42
34F：→ arthurduh1 : 再把全部加一相乘即是行列式值 09/28 20:43
35F：→ arthurduh1 : *易猜測非零特徵值的特徵向量 09/28 20:54
36F：→ hanabiz : 第五題可否再多一些說明？謝謝！ 09/30 10:14
37F：→ hwanger : XD 我把時間都耗在其它事物上了 可能要下星期二才能 09/30 11:42
38F：→ hwanger : 完整把他打出來 還是看這段時間有沒有其他能人能補 09/30 11:43
39F：→ hwanger : 上 抱歉 09/30 11:43
40F：推 arthurduh1 : 5. 舉 n=5 當例子，減去單位矩陣後，奇數列會是 09/30 12:41
41F：→ arthurduh1 : [0, 1, 0, 1, 0]，偶數列則是 [1, 0, 1, 0, 1] 09/30 12:42
42F：→ arthurduh1 : 按照這規律猜測特徵向量為 (a, b, a, b, a) 09/30 12:42
43F：→ arthurduh1 : 得關係式 2b = λa 及 3a = λb，其中λ為特徵值 09/30 12:47
44F：→ arthurduh1 : 解得 b = ±(√(3/2))a，對應 λ = ±√6 09/30 12:53
45F：→ arthurduh1 : 所以新矩陣的所有特徵值為 (0, 0, 0, √6, -√6) 09/30 12:55
46F：→ arthurduh1 : 原矩陣的則是 (1, 1, 1, 1+√6, 1-√6) 09/30 12:55
47F：→ arthurduh1 : 行列式值則為所有特徵值的積 -5 09/30 12:57
48F：→ arthurduh1 : 註：原矩陣的特徵向量與新矩陣相同 09/30 12:57
49F：→ arthurduh1 : *行列式值則為所有特徵值的積，也就是 -5 09/30 12:59
50F：→ hwanger : a大的解法很漂亮 09/30 15:16
51F：→ hwanger : XD 一開始以為a在講第6題 沒有特別去看解法 剛剛在 09/30 15:16
52F：→ hwanger : 車上重新想一個解法 正要留才發現和a大的解法一樣 X 09/30 15:16
53F：→ hwanger : D 09/30 15:16
54F：→ hwanger : 原本我induction的解法 因為太多細節要說 打起來很 09/30 15:16
55F：→ hwanger : 長 所以才重新想另一個解法 囧 09/30 15:16
56F：→ hanabiz : 謝謝 你們都很厲害！ 09/30 16:46