作者hau (小豪)
看板Math
標題[中學] 可能與數論或多項式有關的習題
時間Fri Sep 25 00:12:45 2020
https://imgur.com/a/kxXbs0C
如上圖，
將其想成 2^2 + 2^(t+2) + 2^(2t) = ( 2 + 2^t )^2 ，其中 t 為正整數
不難看出 n 有兩解 7,16
(或用其它方法也可看出)
另外，不難看出 7 是 n 的最小值，問題是：「能證明 16 是 n 的最大值嗎？」
(這題有簡答 23)
從簡答來看，請問如何證明 16 是 n 的最大值？
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1F：推 LPH66 : 可以簡單證得大於 16 的偶數都不是解 09/25 02:34
2F：→ LPH66 : 2^(2k) + 1028 < (2^k + 2)^2 化簡得 2^k > 256 09/25 02:35
3F：→ LPH66 : 所以 k > 8 (即偶數 n > 16) 不是解 09/25 02:36
4F：→ LPH66 : 奇數我就不確定要怎麼做了... 09/25 02:36
5F：→ hwanger : 7和16似乎就是唯二的解(至少在n從1到一百萬是如此) 09/25 08:34
6F：推 hwanger : 不妨就假設n=m+2>10 則原問題就變成問2^m+2^8+1何時 09/26 12:24
7F：→ hwanger : 是完全平方數 就考慮是完全平方數的情況 則我們可以 09/26 12:26
8F：推 hwanger : 令2^m+2^8+1=(k*2^8+h)^2 其中k為非負整數 而h是介 09/26 12:30
9F：推 hwanger : 於0到255之間的整數 因為此數除以8餘1 則h只能是1, 09/26 12:32
10F：→ hwanger : 129,127,255這四種可能 09/26 12:33
11F：→ hwanger : typo: 此數除以2^8餘1才對 09/26 12:36
12F：→ hwanger : Case 1. 若h=1 則2^m+2^8+1=(k^2)*2^16 + k*2^9 + 1 09/26 12:37
13F：→ hwanger : 由二進制的唯一性 我們得到矛盾 09/26 12:38
14F：→ hwanger : Case 2. 若h=129 則2^m+2^8+1= 09/26 12:41
15F：→ hwanger : (2^9)*k*[k*2^7+2^7+1] + 2^14 + 2^8+1 其中包含k的 09/26 12:43
16F：推 hwanger : 那串因二進制的唯一性只能為0 此時得m=14 09/26 12:47
17F：→ hwanger : Case 2. 若h=127 則2^m+2^8+1= 09/26 12:48
18F：推 hwanger : [(2^7*k + 2^7 - 1)*k + 31]*(2^9)+ 2^8 + 1 09/26 12:56
19F：推 hwanger : 先停一下 XD 09/26 13:06
20F：推 hwanger : 這個case突然卡住了 先做另一個case XD 09/26 13:15
21F：→ hwanger : Case 3. 若h=255 則2^m+2^8+1= 09/26 13:16
22F：→ hwanger : (2^9)*[(2^7)*k^2+255k+255] + 1 則由二進制的唯一 09/26 13:17
23F：→ hwanger : 性 這個case也是矛盾 09/26 13:18
24F：推 hwanger : Case 2好像也有點卡卡的 冏 09/26 13:38