作者cheesesteak (牛排‧起司)
看板Math
標題Re: [幾何] 三角型內求角度
時間Thu Sep 10 16:13:16 2020
※ 引述《dadandog (大丹)》之銘言：
: https://i.imgur.com/SxyeIJ6.jpg
: 各位大大好
: 家教學生問的題目
: 抱歉無答案
: 有請大神指點
: 感謝！
用座標化和三角函數和差化積硬解
設A(0,0), M(15/2,0), B(15,0), D(2cos40,2sin40), E(15-2cos46,2sin46)
N(15/2+cos40-cos46, sin40+sin46)
MN向量=(cos40-cos46, sin40+sin46), MB=(15/2,0)=15/2*(1,0)
cosNMB= MN‧MB / (|MN|*|MB)
= (cos40-cos46)/sqrt[(cos40-cos46)^2+(sin40+sin46)^2]
分母根號內= 2 + 2(sin40sin46-cos40cos46)
= 2 - 2cos(46+40) = 2 - 2(1-2(sin43)^2) = 4(sin43)^2
分母= sqrt[4(sin43)^2]= 2sin43
分子= cos40-cos46 = -2sin43sin(-3) = 2sin43sin3
cosNMB = sin3 = cos87, NMB = 87度
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1F：推 Vulpix : 也可以用向量。MN=(AD+BE)/2，所以N在角平分線上。 09/10 17:06
2F：→ reye : 向量MN=(AD+BE)/2可以連AE或BD得證 09/10 17:39
3F：→ reye : 請教樓上怎麼導出N在角平分線上，是角BCA上？ 09/10 17:40
4F：推 dadandog : 太感謝了!! 我有想過用座標解 解到一半就放棄了XD 09/10 17:56
5F：→ hwanger : 因為AD=BE 又MN=(AD+BE)/2 所以MN平分AD和BE的夾角 09/10 18:49
6F：→ hwanger : (菱形對角線平分菱形的角) 而AD,BE的夾角恰好是CA, 09/10 18:50
7F：→ hwanger : CB夾角的對角 所以NM直線平分N角BCA 09/10 18:52
8F：推 hwanger : ok 我想錯了 在那之前要先證明MN通過C 根據角平分線 09/10 19:03
9F：→ hwanger : 定理這是不可能發生的 09/10 19:03
10F：→ reye : 如果成立的話，那三角形CDE是等腰三角形 09/10 19:05
11F：→ reye : CD=CE，剩下就是國中幾何了 09/10 19:06
12F：→ reye : 檢驗後答案也確實是87度 09/10 19:06
13F：推 hwanger : 所以直接用這個MN=(AD+BE)/2來算 平移這三個向量使 09/10 19:07
14F：→ hwanger : 其起點一樣 AD和水平夾40度 而MN又和AD夾47度 所以M 09/10 19:07
15F：→ hwanger : N和水平夾87度 09/10 19:07
16F：推 hwanger : 這裡的水平線是AB直線 以防有人畫的圖不一樣 09/10 19:14
17F：→ reye : 可是如果CD=CE，又AD=BE，那角A應該要等於角B啊？ 09/10 19:21
18F：→ reye : 晚點有空再想清楚XD 09/10 19:21
19F：推 hwanger : XD 不要管C了 將MN向量平移 使MA重合 令為AN' 將BE 09/10 20:05
20F：→ hwanger : 向量平移 使BA重合 令為AE' 則如前所述 AN'平分AD, 09/10 20:05
21F：→ hwanger : AE'夾角 所AN'和AD夾47度 而AD又和AB夾40度 得AN' 09/10 20:05
22F：→ hwanger : 和AB夾87度 而AN'和MN平行 09/10 20:05
23F：推 Vulpix : 角平分線的角是向量夾角啦。可以把向量平移到以M為 09/10 20:11
24F：→ Vulpix : 起點來看。 09/10 20:11
25F：→ reye : 那這題應該可以用國中幾何做，懂了 09/10 22:16
27F：→ reye : 國中做法XDD 09/10 23:02
28F：→ cheesesteak : 推向量平移和樓上國中幾何作法 09/11 11:46
29F：推 dadandog : 推大家的解法!! 09/11 12:28