作者TOMOHISA (YAMASHITA)
看板Math
標題[中學] 請問一題不等式競賽題
時間Sun Aug 23 11:48:38 2020
設a,b,c>=0，但其中最多只有一個是0。
證明：(1/(a^2+b^2))+(1/(b^2+c^2))+(1/(c^2+a^2))>=10/(a+b+c)^2
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1F：推 hwanger : 冏 我自己目前想不出中學生的解法 08/24 09:26
2F：→ hwanger : 將原不等式的各分母除以a,b,c中最大的 08/24 09:27
3F：→ hwanger : 適當的移項並重令變數 則原式等價於這個函數 08/24 09:27
4F：→ hwanger : f(x,y)=1/(x^2 + y^2)+1/(1 + y^2)+1/(x^2 + 1)- 08/24 09:28
5F：→ hwanger : 10/(x+y+1)^2 在[0,1]x[0,1]\{(0,0)}上非負 08/24 09:29
6F：→ hwanger : 因為f(x,y)→∞ as (x,y)→(0,0) 08/24 09:30
7F：→ hwanger : 所以我們只要考慮f在一個compact set E= 08/24 09:30
8F：→ hwanger : [0,1]x[0,1]\B(0,ε)上即可 08/24 09:31
9F：→ hwanger : 但f在E的邊界上非負(這裡用一維的微積分分析即可) 08/24 09:31
10F：→ hwanger : 且grad. f在E上無解 所以f在E上恆非負(否則f在E的內 08/24 09:32
11F：→ hwanger : 點會有最小值) 08/24 09:33
12F：推 hwanger : 這題比較麻煩的地方是等式是發生在類似A=B C=0這種 08/24 09:53
13F：→ hwanger : 地方 而不是預想的A=B=C 08/24 09:53
14F：推 raiderho : 承樓上，花了幾粉中搞一個中學解法，但不好看 08/25 15:34
15F：→ raiderho : 記 f(a,b,c)=左式, 不妨設a>=b>=c, 花一點論證可得 08/25 15:39
16F：→ raiderho : f(a,b,c)>=f(m,m,c), 這裡m=a+b/2. 接著記 c=mx, 08/25 15:43
17F：→ raiderho : 左減右>=1/m^2[1/2+2/(1+x^2)-10/(2+x^2)]>=0. 08/25 15:46
18F：→ raiderho : 打錯: m=(a+b)/2 08/25 15:47
19F：推 hwanger : 我覺得r大的想法還蠻漂亮的呀 雖然不知道r大如何證 08/25 18:32
20F：→ hwanger : f(a,b,c)>=f(m,m,c) 但我自己證這部份都只用到大一 08/25 18:33
21F：→ hwanger : 微積分的技巧 比我之前要分析二元多項式的根要基礎 08/25 18:35
22F：→ hwanger : 多了 08/25 18:35
23F：→ hwanger : 修一下r大的筆誤 應該是 08/25 18:36
24F：→ hwanger : 1/m^2[1/2+2/(1+x^2)-10/(2+x)^2]>=0 08/25 18:36
25F：推 hwanger : 因為至少是微積分程度的解法 我先po一下自己的解法 08/25 23:57
28F：→ TOMOHISA : 感謝大神解答~ 08/26 10:36
29F：推 hwanger : 不是很重要 只是以防有人想知道"grad. f在E上無解" 08/26 18:11
30F：→ hwanger : 是如何證的 令g1(x,y) g2(x,y)分別為grad. f的第一 08/26 18:13
31F：→ hwanger : 第二分量的分子多項式 則我們只需要證G=g1^2+g2^2在 08/26 18:14
32F：→ hwanger : [0,1]x[0,1]上無解就可以了 先找出grad. g第一第二 08/26 18:16
33F：推 hwanger : 分量絕對值的上界M1,M2 接著用數值方法去找出g在 08/26 18:19
34F：→ hwanger : [0,1]x[0,1]上的最小值估計 以此為依據將[0,1]^2分 08/26 18:21
35F：→ hwanger : 成足夠小的格點 並計算g在這些格點上的值 利用均值 08/26 18:23
36F：→ hwanger : 定理在M1,M2及格點上的值做討論 就可以證g不可能到0 08/26 18:24
37F：推 hwanger : 不過如我一開始所說的 這不是中學生的技巧 XD 08/26 18:27