作者alchemistry (chemist)
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標題Re: [中學] 請教一題國中幾何
時間Sun May 10 16:35:42 2020
※ 引述《apom0228 (ㄚ碰)》之銘言：
: 學生問的問題，目前想到的線索是D為三角形ABF外心，
: 線段BF垂直線段AC，接著就卡住了，想請板友給點方向，謝謝!
: https://upload.cc/i1/2020/05/10/tWxXAd.jpg
解1：
直角△BDE中,BE=2,BD=1,2得DE=√5,故EF=DE-DF=√5-1,
由孟氏定理,(CE/CB)*(AB/AD)*(DF/FE)=1
(CE/2-CE)*(2/1)*(1/(√5-1))=1
2*(CE)=(2-CE)*(√5-1)
2*(CE)=2√5-2-√5*(CE)+CE
√5*(CE)+CE=2√5-2
(√5+1)*CE=2*(√5-1)
CE=2*(√5-1)/(√5+1)
=(2*(√5-1)*(√5-1))/((√5+1)*(√5-1))
=2*(5-2√5+1)/((5+1)*(5-1))
=2*(5-2√5+1)/4
=(1/2)*(6-2√5)
=3-√5
解2：
作FG⊥AB於G,作FH⊥BE於H
直角△BDE中,由畢氏定理得DE=√5,故EF=√5-1
△DGF相似△DBE
DG/DF=DB/DE DG/1=1/√5 DG=1/√5
AG=AD+DG=1+(1/√5)=(√5+1)/√5
GF/DF=BE/DE GF/1=2/√5 GF=2/√5 BH=GF=2/√5
△FHC相似△AGF HC/FH=GF/AG
HC÷((√5-1)/√5)=(2/√5)÷((√5 +1)/√5)
HC÷(√5-1)= (2/√5)÷(√5 +1)
HC=(2*(√5-1))/(√5*(√5 +1))
= (2*(√5-1)^2)/(√5*(√5 +1)*(√5-1))
=(2*(5-2√5+1))/(√5*4)=(2*(6-2√5))/ 4√5
=(12-4√5)/( 4√5)=(3-√5)/√5
CE=BE-BH-HC
=2-(2/√5)-(3-√5)/√5
=2-(2√5/5)-(3√5-5)/5
=2-(5√5-5)/5
=2-(√5-1)
=3-√5
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※ 編輯: alchemistry (36.232.192.126 臺灣), 05/10/2020 16:39:00
1F：推 knuk : 第一眼看也是想到孟氏，推。 05/11 00:28
※ 編輯: alchemistry (111.252.227.211 臺灣), 05/19/2020 16:25:31