作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [中學] 請問加法性質證明
時間Fri Mar 27 07:40:24 2020
※ 引述《jack41402 (抹茶好喝)》之銘言：
: 如題
: 網路上很少 交換律與結合律 的證明
: 想請問大家如何證明兩者？
: 主要是為了證明 1+ 1 = 2定義的加法符合加法性質
如果是指本版第一篇的加法...
以下用 * 代替上標的 + 代表後繼元:
m+0 = m
m+n* = (m+n)*
首先證明 n+1 = n* ( = 1+n (已證))
(1) 0 + 1 = 0 + 0* = (0+0)* = 0*
(2) 假設 k+1 = k*, 則
k*+1 = k*+0* = (k*+0)* = (k*)*
由 (1), (2) 得證: for all n in ω, n+1=n*=1+n.
其次證明 (m+1)+n = m+(n+1)
或等於證明 m* + n = m + n*.
(1) n = 0 時,
m* + n = m* + 0 = m* = m+1 = m+0* = m+n*.
(2) 假設 n=k 時成立. 則 n=k* 時
m* + n = m* + k* = (m* + k)* = (m + k*)*
= m + (k*)* = m + n*
故: for all m, n in ω, m*+n = m+n*.
現在證明交換律 m + n = n + m
(1) n = 0 時..
(a) m = 0 則 m+n = 0+0 = n+m.
(b) 設 m = k 時 0+m = m = m+0. 則
m = k* 時,
0+m = 0+k* = (0+k)* = k* = m = m+0.
故: for all m in ω, 0+m = m = m+0.
(2) 假設 n=k 時, m+n = n+m for all m.
則, n = k* 時,
m + n = m + k* = (m + k)* = (k + m)*
= k + m* = k* + m = n + m
由 (1), (2) 得證在 ω 中, 加法交換律成立.
證明結合律: (m+n)+k = m + (n+k)
(1) n = 0 時,
(m+0)+k = m+k = m+(0+k).
(2) 假設 n=p 時成立. 當 n = p* 時:
(m + p*) + k = (m + p)* + k = (m + p) + k*
= m + (p + k*) = m + (p* + k)
所以, for all m,n,k in ω, 加法結合律成立.
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1F：→ musicbox810 : 請問已1+n證是怎麼證的？文中只有只有m+n*=(m+n)* 03/27 08:17
2F：→ musicbox810 : =1+n不就是原來文章要求證明的交換律嗎?應該是證明 03/27 08:37
3F：→ musicbox810 : 的重點吧? 03/27 08:38
4F：→ yhliu : 該文證了啊! 03/27 12:43
5F：→ yhliu : 6.11 Lemma n^+ = 1 + n 03/27 12:44
6F：→ yhliu : 其實那篇文章對 1+1=2 的證明就是從 1+n = n* 開始. 03/28 08:41