寫一下我的做法好了 ※ 引述《xxxx9659 (嘎嘎嘎嘎嘎)》之銘言： : 最近在算一個機率問題 : 有 n 顆球 編號 1 ~ n : 每次取一顆球 取後放回 : 求取了 k 次 結果沒有任何一顆球的編號重複的機率 : 我覺得算式是這樣 : C(n,k) / k! : ------------- : n^k : 或是這樣寫 : P(n,k) : ---------- : n^k : 如果令 k = n^0.5 而且 n 超級大的情況下 : 我用 excel 算出來大約是 0.60649... : 我想問的是 這個值最後會不會收斂成一個定值阿？ : 感覺是跟自然常數 e 有關 但是又說不出什麼有關係... : 希望各位大大幫我解答 或是給我一些方向 : 感謝 先寫一個不很嚴謹的做法 這機率可以寫成 P = (n/n)*[(n-1)/n]*[(n-2)/n]*...*[(n-k+1)/n] 取對數得 ln P = ln(n/n) + ln[(n-1)/n] + ln[(n-2)/n] + ... + ln[(n-k+1)/n] 嘗試把右邊看成 ln x 由 x=(n-k)/n 到 1 的積分的黎曼和, 會發現需要補一個 1/n 1 補上去之後把右邊近似(!)成 n * ∫ ln x dx 1-1/√n 容易發現在 n→∞ 時這是 ∞*0 的不定型, 所以把 n 搬到分母後羅必達一次 -ln(1-1/√n) * (-1)(-1/2)(n^(-3/2)) 會得到 ------------------------------------- = ln(1-1/√n) * (1/2)√n -n^(-2) 又是 0*∞, 所以一樣把 √n 搬到分母再羅必達一次 (1/2)/(1-1/√n) * (-1)(-1/2)(n^(-3/2)) 就得到 ---------------------------------------- = -(1/2)/(1-1/√n) → -1/2 (-1/2)(n^(-3/2)) 所以 P → e^(-1/2) ≒ 0.606531 上面這個做法不嚴謹的地方在 (!) 那裡, 因為那裡把式子的一部份先取了極限 不過嚴謹的做法應該只需要稍微調整: 在 (!) 那裡把和式夾在兩個積分中間, 一個是上式 (原式是上式積分的黎曼上和) 另一個則是拿掉 ln(n/n) = ln 1 = 0 之後變成另一個積分的黎曼下和 這兩個積分只差在下限不一樣, 後一個積分下限是 (n-k+1)/n 所以求極限過程 (雖然稍微繁了些但) 大同小異, 最後一步的極限下去都逼近 -1/2 這樣就能嚴謹地夾出 ln P 的極限是 -1/2 了 -- 1985/01/12 三嶋鳴海 1989/02/22 優希堂悟 1990/02/22 冬川こころ 1993/07/05 小町 つぐみ 歡迎來到 1994/05/21 高江ミュウ 1997/03/24 守野いづみ 1997/03/24 伊野瀬 チサト 1998/06/18 守野くるみ 打越鋼太郎的 1999/10/19 楠田ゆに 2000/02/15 樋口遙 2002/12/17 八神ココ 2011/01/11 HAL18於朱倉岳墜機 ∞與∫的世界 2011/04/02 茜崎空 啟動 2012/05/21 第貮日蝕計畫預定 2017/05/01~07 LeMU崩壞 2019/04/01~07 某大學合宿 --

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