※ 引述《hydrasmith31 ()》之銘言： : 題目 https://is.gd/sRFInU : 答案 2010^2-2010 : 想請問怎麼解呢 這題應該有點年紀了，是 2010 年的賀歲題。 解這種類型的問題，我們先照著原文章底下的推文：把根號的數目推至無窮。 √(y+√(y+√(y+...)) = 2010，此時 y = 2010^2 - 2010。 能這麼做是因為我們知道 a_n 收斂， 其中 a_1 = √y, a_n = √(y+a_{n-1}), n>1。 為什麼知道他收斂呢？ 因為 a_n 遞增，而且有上界 (1+√(1+4y))/2。 但是，這個 2010^2 - 2010 太小了，因為我們的問題只有七重根號。 也就是說 x > 2010^2 - 2010。 接下來呢？ 把根號的數目縮減。 先試著縮減到剩下一個根號，√y = 2010，與剛才的理由差不多，這個 y 太大。 所以目前我們有 2010^2 > x > 2010^2 - 2010，不夠夾出 [x]。 所以我們用兩個根號，√(y+√y) = 2010， 解出 y = 2010^2 + 0.5 - √(2010^2 + 0.25) < 2010^2 - 2010 + 1。 這個 y 仍然比 x 大，因此 2010^2 - 2010 + 1 > y > x > 2010^2 - 2010。 得到 [x] = 2010^2 - 2010。 這種題目的關鍵就是：透過把根號的個數增加或減少來達到估計的目的。 --

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