大約來說 Z_n 幾乎就是 "取餘數" 了 但是由於定義嚴格上來說還是不一樣的 具體詢問前先把符號給一給： 【Z_n】 任給正整數n，定義Z_n := {[a]：a€Z}, where [a] = {b€Z：n│a-b} 則 (1) Z_n = {[0], [1], ..., [n-1]} (2) 可定義加法 ┼ 為 [a]┼[b] := [a+b] ---- (★) 可定義乘法 Ⅹ 為 [a]Ⅹ[b] := [a*b] 【mod n】 任給正整數n，定義函數 %_n：Z→Z 為 %_n(a) := a除以n的餘數 則可證明 %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) --- (●) 可證明 %_n(a*b) = %_n(%_n(a)*%_n(b)) 【問題】 整體來說，疑惑有兩個： (1) [] 比 %_n 乾淨就只是差在因為定義了[]的運算所以可以簡化%_n算式？ (2) a = [a] = [[a]] = %_n(a) 這些如果狂混用都不會錯...想找個合理解釋 -------------------------- 來由如下 ------------------------- (1) 以加法為例，對(●)左右同取equvalence class的話，過程如下： [%_n(a+b)] = [%_n(%_n(a)+%_n(b))] => [a+b] = [%_n(a)+%_n(b)] ... 因為 [a] = [%_n(a)] obviously = [%_n(a)] + [%_n(b)] ... (★)的定義 = [a] + [b] 雖然不意外的回到了 [a] + [b] = [a+b] 但是我怎麼有種：(i) 從(●)的證明結果推論到(★)的定義的感覺 雖然整個邏輯沒有錯，但是無法描述心中那股怪怪的感覺 (ii) equvalence class 跟 %_n 比較起來就只給我一種 幫忙去除最外層的%_n的功用而已 (先不論[a]可以推得各種代數性質，單純比較[a]與%_n) (2) 會問這些問題源自於比較下列三個方法的計算： y = %_n(ax+b) z = %_n(ay+b) 比較三個方法化簡z 【mod】 z = %_n(ay+b) = %_n( %_n(ay) + %_n(b) ) = %_n( %_n(%_n(a)*%_n(y)) + %_n(b) ) = %_n( %_n(%_n(a)*%_n(ax+b)) + %_n(b) ) = %_n( %_n(a*(ax+b)) + %_n(b) ) = %_n( a*(ax+b) + b ) ... by(●) 【equivalence class】 z = %_n(ay+b) => [z] = [%_n(ay+b)] = [ay+b] = [a][y] + [b] = [a][%_n(ax+b)] + [b] = [a][ax+b] + [b] = [a*(ax+b) + b] = [%_n(a*(ax+b) + b)] => z = %_n(a*(ax+b) + b) ... 因為 0 =< z <= n-1 【把a跟[a]跟%_n(a)混用】 z = %_n(ay+b) = [ay+b] ... 把%_n(m) 當作[m] = [a*%_n(ax+b) + b] = [a*[ax+b] + b] ...把%_n(m) 當作[m] 注意到 a€Z、[ax+b]€Z_n 不同集合，但是把a*[ax+b]當成可以乘[a*(ax+b)]也對 = [[a*(ax+b)] + b] = [a*(ax+b) + b] 一堆混用然後得到對的答案，但是並非湊巧 =================================================================== 不知道怎麼說這種感覺XDDD 雖是雖然知道 a, [a], %_n(a), [[a]] 彼此嚴格定義的差異，真的是不一樣 但是是基於怎樣的原因導致混用或是說他們一樣都沒有關係 當然我可以造一個1-1 onto函數說他們一樣 想聽聽有遇過這問題的板友們的想法 謝謝~ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.226.184 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1554319331.A.9AA.html 謝謝D大跟V大的回覆 我先把mod改成%_n 想表達的就是取餘數 再來是綜合你們的回覆想再請問一下： (1) Z_n 不是完全就是 quotient ring嗎？ define a~b iff %_n(a) = %_n(b) (也等價於 n│a-b) 則定義 Z_n := Z/~ = {[a]：a€Z}，收集那些同餘的集合，就是equivalence class (2) 我知道φ：Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism 也知道θ：{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應 其中 {0,...,n-1} 就只是V大說的太狹隘 只取餘數沒有代數結構的集合 但我心中難以解釋的點在於 在沒有引入代數結構下 → %_n(a+b) = %_n(%_n(a)+%_n(b)) 可直接證明 在引入代數結構下 → 在定義[a]┼[b] := [a+b]後 計算上就能取代掉%_n或是與%_n混用 所以脈絡就是：因為 1. %_n 可以幫助我們定義等價類 2. Z上的加法跟乘法可以幫助這些等價類形成Z/~ 所以 [a]跟%_n(a)就可以混用(? ======================================================= 總結一下，我想表達的是： 我知道用 Z_n VS %_n 的每個步驟的嚴格差別 我知道混用在邏輯上是錯的 但是 我前天導個式子狂使用了 [a[ax+b] + b] = [a[ax+b]] + [b] = [a][ax+b] + [b] = [a(ax+b)] + [b] = [a(ax+b) + b] 洗澡時驚覺我怎麼拿Z跟Z_n的元素混著做運算？？ 驚嚇後，從頭改成嚴格的運算，Z只能跟Z、Z_n只能跟Z_n 雖然混用結果是對的，但是就是想給自己一個混用也可以的理由 而目前想出的三個理由都讓覺得沒那麼說服我 (1) 因為 φ：Z → Z_n defined by φ(a) = [a] 是一個homomorphism 所以 所以Z跟Z_n可以混用 (2) 因為 θ：{0,...,n-1} → Z_n defined by θ(a) = [a] 是一個可逆對應 所以 所以Z跟Z_n可以混用 (3) 因為 [a] 是由%_n定義來的而且 剛好 [a] 可以簡化 %_n 的計算 所以 所以Z跟Z_n可以混用 如果理由就是這些，只是個人接受度的問題，那我就OK 所以我才比較好奇板友們對於這件事的看法是什麼 想看是否有其他我能參考的說法 謝謝~~ ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:21:03 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 11:22:26 這解釋有感覺~~謝謝V大~ ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.226.184), 04/04/2019 14:03:47