作者Desperato (Farewell)
看板Math
標題Re: [微積] Frobenius 級數解
時間Mon Jan 7 20:18:11 2019
※ 引述《ypeng0308 (Ding-YU)》之銘言：
: https://imgur.com/a/GVGAWru
: 想請問此題的y2該如何解
: 我知道要降階法令y2=uy1
: 但後面要積分時會卡一項有sigma
: 不知道該如何進行
先說結論，我也沒解出來orz
嗯 我也搞不清楚XD
我的微方不很好 總之照算一次就知道了吧
z y'' + (2z-3) y' + (4/z) y = 0
(我發現我不會算 y1, 所以跳過XD)
2 3 inf n n+1 n+2
嗯總之 y = z - 4z + sum (-2) (---) z
1 n=2 n!
令 y = u y
2 1
則 z (u''y + 2u'y' + uy'') + (2z-3) (u'y + uy') + (4/z) uy = 0
1 1 1 1 1 1
z (u''y + 2u'y') + (2z-3) (u'y ) = 0, 令 v = u'
1 1 1
(zy ) v' + (2zy' + (2z-3)y ) v = 0
1 1 1
y1' 2z-3 y1' 3
v' + (2 --- + ----) v = 0, P = 2 --- + 2 - ---
y1 z y1 z
int P dz = 2 log(y1) + 2z - 3 log(z)
y1^2 e^(2z)
I = exp(int P dz) = -------------
z^3
z^3
I v' + I' v = 0, I v = c, v = ----------- (取 c = 1)
y1^2 e^(2z)
好，到這裡大概就卡住了
因為 y1 放分母還積分簡直有病
然後我就把原式往 wolframalpha 丟，得到答案是
-2z 2 2z -2z 2
y = c e z ((1-2z)Ei(2z) + e ) + c e (2z-1) z
2 1 ^^^^^^^^^^^^^^
...嗯，怎麼好像有個 elementary function XD
所以這是 y1 的鍋吧XD
2 3 inf n n+1 n+2
y = z - 4z + sum (-2) (---) z
1 n=2 n!
y_1 inf n n+1 n
--- = 1 - 4z + sum (-2) (---) z
z^2 n=2 n!
y_1 2 inf n 1 n+1
I(---) = c + z - 2z + sum (-2) (---) z I 是積分
z^2 n=2 n!
y_1 2 inf 1 n
I(---) = c + z - 2z + z sum (---) (-2z)
z^2 n=2 n!
y_1 2 -2z -2z 1
I(---) = c + z - 2z + z ( e - --- - --- )
z^2 1! 0!
y_1 -2z
I(---) = c + z e
z^2
y_1 -2z -2z
--- = e - 2z e
z^2
2 -2z
y_1 = z (1-2z) e 可喜可賀XD
所以現在我們的 v 就應該是
z^3 z^3 e^(2z)
v = ----------- = -------------------- = ------------
y1^2 e^(2z) z^4 (1-2z)^2 e^(-2z) z (1-2z)^2
然後再繼續解下去就會跑出 Ei 函數了XD
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所以只好認真去 google Frobenius method
http://msvlab.hre.ntou.edu.tw/grades/now/egmath1-b_2005/Frobenius%20method.pdf
好吧，所以 Frobenius 表示
一定有個答案是 y = z^r (power series)
然後根據 r 的解答來看答案
原式的 p(z) = 2z-3, q(z) = 4
因此 r(r-1) - 3r + 4 = 0, r = 2, 2
總之 case 2 推導出了
inf n+2
y = y ln(z) + sum b x = y ln(z) + b(z)
2 1 n=0 n 1
這代表其實可以拿這個代入原式啊(欸)
總之化簡完會變成
2
z b'' + z(2z-3)b' + 4b + (2zy' + (2z-4)y ) = 0
1 1
...嗯，怎麼好像跟原本的式子差不多XD
原本的我就不會，這個我也不會啦(攤手)
不過反正級數拆一拆總是能做的吧(大概)
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嗯嗯ow o
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1F：推 ypeng0308 : 其實我原本做到y1跑去分母那邊就放棄了 後面不知道 01/07 21:40
2F：→ ypeng0308 : 謝謝您 我在研究一下 01/07 21:40
6F：→ Desperato : 了解 就是其實後面的b也有公式ow o 01/07 22:57
7F：推 etyh3241698 : 你是說y2嗎 跟常微分方程處理重根其實一樣 01/07 23:04
8F：→ etyh3241698 : 只是frobenius級數解 在做係數偏微分會有前微後不 01/07 23:05
9F：→ etyh3241698 : 微的兩項 01/07 23:05
10F：推 ypeng0308 : 請問為什麼知道y2後面那項是直接做偏微? 01/08 05:52
11F：→ ypeng0308 : 因為我的書上只有告訴我兩個解應該是線性獨立 且和 01/08 05:53
12F：→ ypeng0308 : 為0 所以另y2=uy1去解 但沒有告訴我可以直接這樣做 01/08 05:54
13F：推 etyh3241698 : 重根怎麼會線性獨立 你可以參考常微分方程式處理重 01/08 10:09
14F：→ etyh3241698 : 根的理論 方式是一樣的 01/08 10:09
15F：推 ypeng0308 : 我懂了 謝謝您 01/08 16:49