※ 引述《ThePeaceMan (TPM)》之銘言： : 小弟目前讀高一。在高中，老師給出了0.999...=1的證明，但想想總覺彆扭 : ，若上式成立，則1-0.999...=0.00..1(無限小)=0亦成立。 : 由於有理數具有稠密性，故我們可用二分法逼近一個無理數，像根號2介在1 : 與2之間，又有理數的運算具有封閉性(除數不為0)，故我們最後能找到m<根號2<n，且 : m,n皆為有理數，兩數與根號2的差距皆為無限小。由0.999...=1的證明中，我們可得 : 知無限小等於0，m=根號2=n，故根號二為有理數?(怪怪的~)懇求大神解惑! _ 首先 0.9=1 的證明 _ 假設 1-0.9=a>0 , a=b*10^n for some 0<b<10,b是正整數,n是整數 _ 因 0.9=0.9+0.09+... = sum 9^-i from i=1→∞ choose j<n we have _ a=1-0.9> 1- {sum 9^-i from i=1 to j} = 10^j <b*10^n = a 矛盾 簡單的說就是 如果兩個不相等 不相等就有距離 有距離就矛盾 所以基本上 不要用什麼無限小去想 太累了 第二個 你講的方法跟實數完備定理有點關係 通常逼近根號2是用有理數去逼近 但極限落在有理數外 用嚴謹一點的數學方式來表達你的想法： choose series {a}i {b}i such that {a}i↗根號2 and {b}i↙根號2 兩個數列一個嚴格遞增跟嚴格遞減 把根號2寫成ci*10^i,這樣每一個ci就代表根號2的十進位的位置 an bn寫成sum ci and an<cn bn>cn for an ,bn 是介於1-9之間的正整數 這樣每個an bn都是有理數 所以 在任何有限 an bn的情況下 an bn與根號2的距離都>0 你也沒辦法找到什麼無限小的距離 你所謂的 "故我們最後能找到m<根號2<n" 是錯的 因為你根本找不到 不然你找出來給我看 是吧 an數列跟bn數列 就會一直無限的延伸下去 但是在有限的n 永遠不會等於根號2 這就是觀念的問題 嚴格來說是這樣描述 an是個數列 會一直接近根號2 根號2就是an的極限 什麼叫an的極限 就是an會愈來愈小 但an永遠>根號2 bn就反過來 "故我們最後能找到m<根號2<n" 這個描述是有問題的 因為你根本找不到 你找到一組有限的M N 之後還有無限個M N 再來就是無限小 基本上數學嚴謹的來說沒有什麼無限小 1就是1 0就是0 (當然可以定義∞做運算 意義不大) 一般常聽到的無限小是通常是用來描述一個連續的狀態 就跟無限大一樣 所以不要把無限小或無限大當成是一個點 一點數字 這是很多人的盲點 無限大也一樣 無限大還有更大的無限大 EX: ∣N∣< ∣R∣ _ 結論就是 一開始就錯了 1-0.9不是什麼無限小 就是0而已 _ 會把1-0.9 講成是無限小的 就沒sense 觀念不嚴謹 --

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