作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[代數] divisor of split poly is split
時間Mon May 7 11:44:13 2018
想問一下這個"顯然"的題目怎麼證：
令f(x)為n(>=1)次split多項式，即f(x) = a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k
where m_1+...+m_k = n, {x_1,...,x_k} distinct
若 f(x) = p(x)*q(x) , where p(x), q(x)都是多項式
則p跟q也會是split
---------------------------------------------
目前是用很蠢的方法一個一個拆，如下：
因為f(x_1) = 0 <=> p(x_1)*q(x_1) = 0
所以 p(x_1) or q(x_1) = 0
因此 p(x)*q(x) = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x), where p_1(x) = p(x) or q_1(x) = q(x)
( 取決於是p(x_1)還是q(x_1)=0 )
and deg(p_1)+deg(q_1) = deg(p) + deg(q) -1
再來，回到f(x)，我們有 a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k = (x-x_1)*p_1(x)*q_1(x)
因此得到 a(x-x_1)^(m_1-1)*...*(x-x_k)^m_k = p_1(x)*q_1(x)
總之拆完就對了
-----------------------------------------------
還是說，嚴格的方法就是這個+數學歸納法??
謝謝指教~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.52.37
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Math/M.1525664656.A.2D4.html
1F：→ forget0309 : 如果p(x)有一個不是split的因式g(x)，則g(x)|f(x) 05/07 12:01
2F：→ forget0309 : （因為p(x)|f(x))這就矛盾了 05/07 12:01
你是指 假設p(x)不split，則有一個不split的因式g(x)，所以得出g(x)│f(x) 矛盾？
這推論不就跟：
假設p(x)不split，則因為p(x)使p(x)的一個不split的因式，所以p(x)│f(x) 矛盾
但這不就是想證的東西嗎@@?
3F：→ mike50378 : 對啊，所以反面看就很"顯然" 05/07 15:54
4F：推 alan23273850: 如果 p 和 q 其中一個不 split，乘起來當然不 split 05/07 21:00
5F：推 forget0309 : 我低估題目了……要講清楚的話要用到UFD的性質(雖 05/08 00:14
6F：→ forget0309 : 然原po沒提但我相信應該是over field)做法就是拿p( 05/08 00:14
7F：→ forget0309 : x)q(x)去跟f splits後的結果去做比較 然後就可以得 05/08 00:14
8F：→ forget0309 : 到p(x) splits 05/08 00:14
我的問題好像在於高中認為理所當然的事情...這就是UFD嗎??
若 p(x)│a(x-x_1)^m_1*...*(x-x_k)^m_k
則 p(x) = b(x-x_1)^n_1*...*(x-x_k)^n_k , where 0<=n_k<=m_k
這高中認為理所當然 沒去想過為什麼XDD 難怪現在會卡住QQ
※ 編輯: znmkhxrw (210.242.52.37), 05/08/2018 11:23:16
9F：推 RicciCurvatu: 不太可能是UFD吧.. 唯一因式分解就是UFD定義那根本 05/09 03:04
10F：→ RicciCurvatu: 不用證了 05/09 03:04
11F：推 RicciCurvatu: 然後你第一行論證可能有問題，如果f over Z6 那(x-1 05/09 03:28
12F：→ RicciCurvatu: )(x-2)=(x-4)(x-5) 但你說代1會使右邊其中一個是零 05/09 03:28
13F：→ RicciCurvatu: 肯定是錯的，你偷偷用到了沒有zero divisor的性質， 05/09 03:28
14F：→ RicciCurvatu: 但題目應該沒給 05/09 03:28
15F：推 Desperato : 我去查了一下split的定義 好像都定義在field上 05/09 08:56
16F：→ Desperato : 那肯定沒有zero divisor的 05/09 08:57
17F：→ Desperato : 而且1F的證法躲過了這個問題 05/09 08:58
18F：→ Desperato : 你說的那個叫做「唯一分解定理」 那個exactly是UF 05/09 08:59
19F：→ Desperato : D的東西 05/09 08:59
20F：→ znmkhxrw : 我昨天是證出可以放寬到integral domain with infin 05/09 09:18
21F：→ znmkhxrw : ite elements 05/09 09:18
22F：→ znmkhxrw : @R大說的有問題 是不是正是integral domain的ab=0 05/09 09:19
23F：→ znmkhxrw : 等價於a=0 or b=0? 05/09 09:19
24F：→ znmkhxrw : @D大確實我一開始是假設無限體 05/09 09:20
25F：→ znmkhxrw : 我會發問主要是我用"唯一分解"去處理"非split"的敘 05/09 09:21
26F：→ znmkhxrw : 述 05/09 09:21
27F：→ znmkhxrw : 也就是說 如果沒有唯一分解定理 即便我反證法假設di 05/09 09:23
28F：→ znmkhxrw : vizor不split 我下一步根本寫不出來 05/09 09:23
29F：→ znmkhxrw : 但是確實寫不出來嗎 感覺是國中問題是不是我想太多X 05/09 09:23
30F：→ znmkhxrw : D 05/09 09:23