作者znmkhxrw (QQ)
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標題Re: [高微] 證明函數集合是否Open
時間Sun Apr 8 23:08:42 2018
※ 引述《sss86925 (miami-hsu)》之銘言：
: 1，B={f屬於C([0,1],R) | f(x)>0 for all x屬於[0,1]}
: (a) show that B is an open set in C([0,1],R)
: (b) what is the closure of the set B
: 2 , let B={f屬於C_b(R,R)|f(x)>0 for all x屬於R}
: (a)is B open?
: (b) what is int(B)
: 拜託版上的神人們救救小弟的高微吧
剛看了你的修文，你好像對於解答也不太知道他在做啥
基本定義要再看熟一點比較好，寫細一點讓你參考
第一題：
(C[0,1],∥‧∥_∞) is a complete normed space
其中 C[0,1]:={f：[0,1]→R continuous}
and ∥f∥_∞:=sup{│f(x)│：x€[0,1]}
B:= {f€C[0,1]：f>0 on [0,1]} is a subset of C[0,1]
(a) 請證明 B is open
pf：照定義，你必須證出：任給一個函數f€B，都存在一個正數r>0，使得當
g€C[0,1]
滿足∥f-g∥< r時，g自然會 > 0
而破題在於"
正連續函數在compact set會有正的確下界"
即存在m>0使得f>=m on [0,1] (其實 m=f(z) for some z€[0,1])
所以，只要取r = m/2，你就會發現當g滿足∥f-g∥< r時
g = g-f + f
>= -∥f-g∥ + f
> -m/2 + m
= m/2
>0
即 g是正函數
(b) 猜測(並證明) cl(B) = {f€C[0,1]：f>=0}
pf：(A)
證明左邊被右邊包含
任給f€cl(B)，依據定義，存在f_n€B，使得f_n收斂到
f€C[0,1]
寫出收斂定義式，我們有∥f_n-f∥< ε for n>=N_ε
這個式子可以推得 f_n(x)→f(x) for any x€[0,1]
最後依據實數列的性質，因為f_n(x)恆正，所以f(x)非負
因此f>=0 on [0,1]，得證
(B)
證明右邊被左邊包含
任給f€{f€C[0,1]：f>=0}，造f_n(x):= f(x)+1/n€B (因為非負加正=正)
接著考慮∥f_n-f∥=∥1/n∥→0，也就是說f_n→f，因此f€cl(B)
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第二題就給你練練看，全部都是定義而已，熟一點就不會搞混
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※ 編輯: znmkhxrw (219.68.160.241), 04/08/2018 23:11:34
1F：推 sss86925 : 我懂了，感謝Z大教導，講的真的很清楚 04/09 15:31