※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言： : ※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言： : : 標題: [代數] 多項式2 : : 時間: Fri Jun 30 14:00:46 2017 : : 試證明對於每一個整數n, 存在唯一的多項式P, : : 使得其係數在{0,1,2,...,9}之中且滿足P(-2)=P(-5)=n. : : 謝謝 : 構造順序： : 1. 先利用 P(-2)=P(-5)=n 做一個長得很像的冪級數。 : 2. 說明冪級數項數有限，所以是多項式。 : 設 P(x) = (x+2)(x+5)Q(x) + n : 其中 Q(x) = Σ_{k=0}^{∞} a_k*x^k 是一個冪級數 : => P(x) = (10a_0 + n) + (10a_1 + 7a_0)x + (10a_2 + 7a_1 + a_0)x^2 + ... : => 10a_0 + n、10a_1 + 7a_0、10a_{k+2} + 7a_{k+1} + a_k 都在 {0,1,2,...,9} 之中 : => a_0 = n 除以 -10 的商 : a_1 = 7a_0 除以 -10 的商 : a_{k+2} = 7a_{k+1} + a_k 除以 -10 的商 這一段修改了一點，之前寫的除法錯了。 : i) 可利用數學歸納法證明： : -2 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k < a_k < 2.5 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k 0 ≦ 10a_0 + n ≦ 9 => -n/10 ≦ a_0 ≦ (9-n)/10 => -2 - n/10 < a_0 < 2.5 - n/10 0 ≦ 10a_1 + 7a_0 ≦ 9 => -7a_0/10 ≦ a_1 ≦ (9 - 7a_0)/10 => 7(n-9)/10/10 ≦ a_1 ≦ (9 + 7n/10 )/10 => -0.63 + 0.07n ≦ a_1 ≦ 0.9 + 0.07n => -2 + 0.07n < a_1 < 2.5 + 0.07n 先計算 -7a_{k+1} - a_k 的範圍： -7( -n/6/(-2)^(k+1) + n/15/(-5)^(k+1) ) - ( -n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k ) = 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) => -7a_{k+1} - a_k < 16 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) -7a_{k+1} - a_k > -20 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) 0 ≦ 10a_{k+2} + 7a_{k+1} + a_k ≦ 9 => 10a_{k+2} < 9 + 16 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) 10a_{k+2} > -20 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) => a_{k+2} < 2.5 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) ) a_{k+2} > -2 - n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) 略繁雜，可是計算其實很簡單。 至於公式是怎麼猜出來的？當然是試了很久才弄到的啊。 : 所以當 k 夠大的時候，a_k 只能是 -2,-1,0,1,2 : ii)考慮 a_N 和 a_{N+1} 都在 {-2,-1,0,1,2} 之中的 25 種情況 : 可以計算得到從 a_{N+5} 開始，a_k 都是 0 這邊我程式碼有一點錯，也改了。 隨便抓一個情況來算算看：a_N = 2, a_{N+1} = -2 => a_{N+2} = 7*(-2) + 2 除以 -10 的商 = 2 => a_{N+3} = 7*2 + (-2) 除以 -10 的商 = -1 => a_{N+4} = 7*(-1) + 2 除以 -10 的商 = 1 => a_{N+5} = 7*1 + (-1) 除以 -10 的商 = 0 => a_{N+6} = 7*0 + 1 除以 -10 的商 = 0 以後的 a_k 就都是 0 了 25 種情況：(從 a_N 開始列) -2,-2,2,-1,1,0,0,... -2,-1,1,1,0,0,... -2,0,1,0,0,... -2,1,0,0,... -2,2,-1,1,0,0,... -1,-2,2,-1,1,0,0,... -1,-1,1,0,0,... -1,0,1,0,0,... -1,1,0,0,... -1,2,-1,1,0,0,... 0,-2,2,-1,1,0,0,... 0,-1,1,0,0,... 0,0,... 0,1,0,0,... 0,2,-1,1,0,0,... 1,-2,2,-1,1,0,0,... 1,-1,1,0,0,... 1,0,0,... 1,1,0,0,... 1,2,-1,1,0,0,... 2,-2,2,-1,1,0,0,... 2,-1,1,0,0,... 2,0,0,... 2,1,0,0,... 2,2,-1,1,0,0,... : i、ii 這兩段苦工的繁雜計算可以由電腦代勞 : 所以 Q(x) 是多項式，P(x) 亦然，此 P 即為所求之唯一多項式。 --

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