作者ckchi (飄)
看板Math
標題Re: [中學]三角一題
時間Wed Aug 17 17:17:14 2011
※ 引述《stupidpin (綠茶無糖去冰)》之銘言：
: 已知x^5=32 的四個相異虛根為a,b,c,d
: 若f(x)=x^3 + x^2 +1
: 求f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=?
: 答案是-8
: 可是不知道該怎麼算
: 可以教我怎麼算嗎?
: 謝謝大家!
有點麻煩的解法...
也許板上有人能提供更好的方法吧
x^5-32 = 0
(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16) = 0
因此
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = x^4+2x^3+4x^2+8x+16
比較系數得：
a+b+c+d = -2
ab+ac+ad+bc+bd+cd = 4
abc+abd+acd+bcd = -8
abcd = 16
所以：
(a+b+c+d)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2) + 2
(ab+ac+ad+bc+bd+cd)
(a^2+b^2+c^2+d^2) =
(-2)^2 - 2*
4
= -4
(a+b+c+d)^3 = (a^3+b^3+c^3+d^3) +
3(aab+aac+aad+bba+bbc+bbd+...+ddc)
+ 6
(abc+abd+acd+bcd)
= (a^3+b^3+c^3+d^3)
- 3(a^3+b^3+c^3+d^3)
+ 3(a^2+b^2+c^2+d^2)(a+b+c+d) + 6
(abc+abd+acd+bcd)
(-2)^3 = -2(a^3+b^3+c^3+d^3) + 3*(-4)*(-2) + 6*
(-8)
(a^3+b^3+c^3+d^3) = -8
f(a)+f(b)+f(c)+f(d) = (a^3+b^3+c^3+d^3) + (a^2+b^2+c^2+d^2) + 4
= (-8) + (-4) + 4 = -8
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