作者CKIIIIII (CK)
看板Math
標題[微積] Dini Theorem
時間Sat Jul 23 17:02:31 2011
設K為compact set,{fn}為定義於K的連續函數數列
若滿足以下性質
<1>fn->f pointwisely on K ,f為定義於K之連續函數
<2>fn(x)遞減 對所有的x屬於K
則 fn -> f uniformly on K
PF:
取hn=fn-f 則{hn}為定義在K的連續函數數列
滿足hn遞減 且hn->0 pointwisely on K
給定任意r>0
定義集合 Un={x屬於K|hn(x)大於等於r}
且Un+1包含在Un內
因為Un是閉子集
compact中的閉子集必為compact
因此Un為compact
對所有的x屬於K 則hn(x)->0 as n->無限大
所以當n夠大
則x不屬於Un
所以x不屬於Un的交集
所以在n大過N之後
Un為空集合
所以n大過N之後
0<hn(x)<r 對所有的x屬於K
所以fn->f uniformly on K
我有點不太明白為什麼要證明Un是compact的
證明這樣寫感覺證明compact並不是必要的阿
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◆ From: 58.115.68.86
1F：推 yusd24 :這裡有用到非空並且有包含關係的緊緻集交集為非空 07/23 17:09
2F：→ CKIIIIII :那他最後說Un是空集合阿 07/23 17:57
3F：→ CKIIIIII :感覺是多證的 07/23 17:57
4F：→ CKIIIIII :我不能一開始設完hn之後 就直接說他收斂到0嗎? 07/23 18:21
5F：→ CKIIIIII :這樣不是就證明完畢了嗎? 07/23 18:21
6F：→ wickeday :弄清楚收斂pointwise和uniform的差別 07/23 18:25
7F：→ CKIIIIII :我知道逐點收斂跟均勻收斂的關係阿 07/23 18:26
8F：→ CKIIIIII :我只是想知道為什麼要多證compact 07/23 18:27
9F：→ ricestone :是為了確保N是有限就可以發生吧 07/23 18:27
10F：→ ricestone :而不是單純Un的n趨近無限才會變成空集合 07/23 18:27
11F：推 chy1010 :因為 Un 均為 compact, 若非在某個有限項變空集合, 07/23 19:45
12F：→ chy1010 :不可能最後交集為空. 同前面其他板友所述. 07/23 19:45
13F：→ CKIIIIII :謝謝各位的答案 我再想一想 07/23 21:44
14F：推 yusd24 :你可以考慮 fn(x)=1, if x>n, 0 otherwise. 07/23 23:59
15F：→ yusd24 :然後去跑一次這個證明你就知道問題在哪了 07/23 23:59
16F：→ yusd24 :如果你擔心 fn不連續的話，畫個斜線把它補成連續即可 07/24 00:02
18F：→ znmkhxrw :樓上那個PDF中下面那些ex. 為啥用sup來證明非uniform 07/24 10:27
19F：→ znmkhxrw :在學的時候沒看過這種方法耶 也不知道原因@@" 07/24 10:27
20F：推 yusd24 :這個方法蠻直接的。我的意思是你把 unif. 的定義寫出 07/24 10:43
21F：→ yusd24 :來你就可以知道為什麼那樣就一定不會 unif. 07/24 10:43