如推文所說, 關鍵是 n-cycle Cn 的 Laplacian eigenvalue 即是 Cn + 2In 的 eigenvalues, 即是 Cn 的 eigenvalues + 2 以下提供一個不是那麼暴力的算法 Fix n, ┌ 0 1 1 ┐ │ 1 0 │ 看 C = │ ＼ │ = A + A^T │ 0 1 │ └ 1 1 0 ┘ ┌ 0 1 ┐ │ 0 │ 其中 A = │ ＼ │ of char. polyn. x^n - 1 = 0 │ 0 1 │ └ 1 0 ┘ 故 A 的 eigenvalues 為 n 次方根 ξ^k 簡單算一下知 A^T A = I 故 A^T 和 A 有相同的 eigenvector u since A^T u = ξ^{-k} A^T A u = ξ^{-k} u 因 C 也有相同的 eigenvector u since C u = (A + A^T) u = (ξ+ξ^{-k}) u 故 C 有 eigenvalues ξ^k+ξ^{-k} = 2 cos(2πk/n) 故 Cn = -C 有 eigenvalues -2 cos(2πk/n) 故 Cn 的 Laplacian eigenvalues 為 2 - 2 cos(2πk/n) -- ╭═──═───══╮╭═──═╯ ． . ‧ ╰══─═──╮ ║細雪紛然，悄落無聲├╯ . . . ╰═╮╭ │衣阡陌田野以素衣裳║˙ .‧ .‥ ． ．殘雪濁淖，不復瑩潔╰╯ │我心啊！請白潔勝雪║ ． , ˙ ‧. ． . 曾經底光華已為陳蹟 ║請無垢無瑕 │ 然我心啊，如磐石無轉 ╰═══──═──═╯╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴╴仍燁然如昔 ψTassTW --

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