※ 引述《GHJK777 (GHJK777)》之銘言： : 有人可以幫我看一下錯在哪嗎？ (贈200p給最先解答的人) : 題目 : Find the absolute max and min value of f on the set D. : f(x,y) = 2x^3 + y^4 : D{(x,y)| x^2 + y^2 <= 1} (令g(x,y) = x^2 + y^2) : 算法 : (1) : 在邊界上 : use lagrange multipliers, : f_{x} = 6x^2 = λ(2x) : f_{y} = 4y^3 = λ(2y) : 解出 x = -1/2 or -2(不合) : _ _ : when x = -1/2 y = + √3/2 or - √3/2 : 代回f(x,y) 可找到絕對最大最小值 : (2) : 內部找出critical point (0,0) : 但(0,0)不是絕對最大也不是絕對最小 : 以上 : 但是答案是 Max=2在(1,0) Min=-2在(-1,0) : 和我寫的有些出入 不知道哪裡出了問題 你的問題在沒有找出所有的解 6x^2 = λ(2x) ...(1) 4y^3 = λ(2y) ...(2) x^2 + y^2 = 1 ...(3) (i) x = 0 (1)式自動成立 由(3)式得 y^2 = 1 => y = 1 or y = -1 由(2)式得 λ = 2y^2 => λ = 2 (ii) y = 0 (2)式自動成立 由(3)式得 x^2 = 1 => x = 1 or x = -1 由(1)式得 λ = 3x =>λ = 3 orλ = -3 (iii) x≠0 且 y≠0 由(1)式得 λ = 3x 由(2)式得 λ = 2y^2 => y^2 = 3x/2代入(3)式 2x^2 + 3x -2 = 0 x = -2 or x = 1/2 代回(3)式 x = -2 時 y^2 = -3 => y = (√3) i or y = -(√3) i 不合 x = 1/2 時 y^2 = 3/4 => y = (√3)/2 or y = -(√3)/2 又 λ = 3x = -6 or 3/2 整理得 (λ, x ,y ) = (2, 0, 1), (2, 0, -1), (3, 1, 0), (-3, -1, 0), (3/2, 1/2, (√3)/2), (3/2, 1/2, -(√3)/2) 共6組解 代入 f(x,y) = 2x^3 + y^4 = 1, 1, 2, -2, 13/16, 13/16 故最大值為 2 發生在 (x,y) = ( 1, 0) 最小值為-2 發生在 (x,y) = (-1, 0) --

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