作者Annihilator (> No LOVE (%))
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標題Re: [機統]求 t- distribution 的 variance
時間Sun May 29 21:58:48 2011
※ 引述《yueayase (scrya)》之銘言：
: t - distribution 可以用兩種方式定義:
: 2
: (2) The distribution density function Γ((v+1)/2) t -(v+1)/2
: f(t) = -------------- (1+---)
: √(πv)Γ(v/2) v
: -∞ < t < ∞ is called the t- distribution.
: 所以 Var(T) = v/(v-2)
: 但是用(2)的話,
: ∞
: E(T) = ∫ tf(t) = 0 (因為 tf(t) 是奇函數 )
: -∞
: 2 2
: 但是 E(T ) 好像不好求(Hint是給: Let 1+t / v = 1/u)
: 但是這樣一來,積分上下界不都變為0,好奇怪...
2 ∞ 2 ∞ 2 2
E(T ) = ∫t f(t)dt = ∫2t f(t)dt since f and t are even.
-∞ ０
-3/2
2 -u
Let 1+t /v=1/u, then t = √v√(1/u-1) and dt = √v -------- du
2√(1-u)
thus
-3/2
∞ 2 ０ 1-u -u (v+1)/2 Γ((v+1)/2)
∫2t f(t)dt = ∫2v ----- √v --------Ｋu du where Ｋ = --------------
０ １ u 2√(1-u) √(πv)Γ(v/2)
3/2 １ 1/2 (v-4)/2
= Ｋv ∫(1-u) u du
０
3/2
= Ｋv Ｂ((v-2)/2,3/2) where Ｂ is beta function.
3/2 Γ(v/2 -1)˙Γ(3/2)
= Ｋv ---------------------
Γ((v+1)/2)
3/2 Γ(v/2)/(v/2-1)˙(1/2)Γ(1/2) v
= Ｋv ------------------------------ = --- where Γ(1/2)=√π
Γ((v+1)/2) v-2
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這是來騙p幣的...
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 180.217.11.46
1F：→ Annihilator :唉...不值錢的一篇 05/29 22:00
2F：推 yueayase :雖然可以做, 可惜我不喜歡根號, 難怪我做不出來 05/30 01:49
3F：→ yueayase :我還是比較喜歡部分積分法,且可把E(T)的過程拿來用 05/30 01:50