作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [微積] 一題極限(不得使用羅必達 泰勒展開)
時間Sun May 8 20:37:57 2011
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 老師給了一題極限
: 而且要求不可以用羅必達 也不能用泰勒展開式 ~"~
: 想請教大家可以怎麼做
: 1 - (sinx)/x
: lim ---------------
: x->0 x^2
: 謝謝!!
首先, [1-(sin(x)/x]/x^2 是偶函數, 因此只需考慮 x>0.
令 f(x) = x-sin(x), g(x) = x^3.
則 by Cauchy MVT, for x>0,
1-sin(x)/x x - sin(x) 1-cos(y)
------------ = ------------ = ----------
x^2 x^3 3y2
for som y in (0,x).
當 x→0 時, y→0.
但
1 - cos(y) 2sin^2(y/2)
lim ------------ = lim -------------
y→0 3y^2 y→0 12(y/2)^2
= (1/6)[ lim sin(y/2)/(y/2)]^2
y→0
= 1/6.
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◆ From: 125.233.158.18
1F：推 keith291 :推 05/08 20:42
2F：推 Frank000 :推 05/08 21:01
3F：推 wickeday :羅必達好像就是這樣證的XD? 05/08 21:17
4F：→ kusoayan :謝謝 05/08 21:55
5F：推 cckk3333 :可以問一下分子分母同時用MVT為什麼y的直會一樣嗎? 05/09 00:02
6F：→ yhliu :那是 Cauchy MVT...可能初微只講 Largrange MVT. 05/09 00:09
7F：→ yhliu :Lagrange 的 MVT 是針對一個函數的; Cauchy MVT 則是 05/09 00:09
8F：→ yhliu :針對兩個函數相除的...把分母 b-a 換成 g(b)-g(a). 05/09 00:11