※ 引述《MaaLong (奮發上進??)》之銘言： : A可以對角化 : iff : 幾何重根數=代數重根數 : 怎證明... : 上課老師證一半 而且到後面就有地方看不懂 : 書上忽略證明... : 有神人有檢一些的證明嗎 k1 k2 km Let det(λI-A)=(λ-λ ) (λ-λ ) ...(λ-λ ) 1 2 m λj are distinct, k1 +...+ km = n //特徵多項式 "=>": A is diagonalizable => 存在 X n*n invitable matrix such that ┌ ┐ │ λ I │ │ 1 k1 │ │ 0 │ │ λ I │ │ 2 k2 │ │ │ │ . │ -1 │ │ X AX= │ . │ │ │ │ . │ =>令為D │ │ │ 0 λ I │ │ m km │ │ │ └ ┘ ┌ // │ λ1 =>λ1 k1個 ┐ │ λ1 │ │ . │ │ . =>λ2 k2個 │ │ . │ │ λ2 │ │ λ2 │ │ . │ │ . │ │ . │ │ λm │ └ ┘ Note that λj 的代數重數 = kj for j=1...m A 跟 D 相似 => dim ker(A-λjI)= dim ker(D-λjI) λj的幾何重數= dim ker ┌ ┐ │ (λ1-λj)I │ │ k1 │ │ 0 │ │ (λ2-λj)I │ │ k2 │ │ . │ │ . │ │ . │ │ (λj-λj)I │ │ kj │ │ . │ │ . │ │ 0 . │ │ (λm-λj)I │ │ km │ └ ┘ = kj = λj的幾何重數 // 第j個剛好消掉，因此少了kj個pivot =>代數重數=幾何重數 # "<=": dim ker(A-λJi)=kj j j j Let {v , v , ... ,v } be a basis for ker(A-λjI) 1 2 kj //注意：此處j不是次方，而是上標(老師這樣用那我就跟著用) 1 1 1 2 m n Check {v , v , ... , v , v , ... , v } is a basis for R 1 2 k1 1 km n //定理：矩陣可對角化 <==> 其所有特徵向量可構成 R 的基底 下一步需要一個輔助定義(Lemma)，我列出來直接用 Lemma：If λ1...λm are distinct eigenvalues of A , yj 屬於 ker(A-λjI) , then if y + y +...+ y = 0 => y = 0 for j = 1...m 1 2 m j # 1 1 1 1 2 2 m m c v +...+ c v + c v +...+ c v = 0 1 1 k1 k1 1 1 km km j j j j Let y = c v +...+ c v j 1 1 kj kj => yj 屬於 ker(A-λjI) and y1+y2+...+ym = 0 => y1 = y2 = ... = ym = 0 (∵λj 都不同) j j j j j j => y = c v +...+ c v = 0 and v ... v is a basis j 1 1 kj kj 1 kj j j => c = ... = c = 0 1 kj n 又 k1 + k2 + ... + km = n = dim R 1 1 1 2 m n => {v , v , ... , v , v , ... , v } is a basis for R 1 2 k1 1 km j v 屬於 ker(A-λjI) => A is diagonalizable i # └─> eigenvector 寫起來有點長，但是觀念不難 可能寫得不是很完善，還請麻煩其他高手來補充 --

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