作者Sfly (topos)
看板Math
標題Re: [代數] discriminant
時間Tue May 3 15:45:29 2011
※ 引述《wickeday (WickeDay)》之銘言：
: 證明多項式 x^n+px+q 的 discriminant 為
: n(n-1)/2 n n-1 (n-1)(n-2)/2 n-1 n
: (-1) n q +(-1) (n-1) p .
: 在計算discriminant時通常都是用行列式計算
: 但這題總不會是要用行列式硬展開算吧…
: 希望有人能提供好方法
: （要by induction似乎也不太可能…）
: 附上題目來源：
: Abstract Algebra (Dummit,Foote) - exercise 14.6.35
Δ=Π(xi-xj)^2 = Π(xi-xj) *(-1)^C(n,2)
i>j i!=j
Π(xi-xj) = Π Π (xi-xj) = Π f'(xi) = Π(nxi^(n-1)+p)
i!=j i j!=i i i
= Πxi^(-1)(nxi^n+pxi) = ((-1)^n/q)Π(p(1-n)xi-nq)
i i
= ((-1)^n/q)*(-1)^n*[p(1-n)]^n*f(nq/p(1-n))
= (1/q)*p^n(1-n)^n*(n^nq^n/p^n(1-n)^n + q/(1-n))
= n^n*q^(n-1) + (-1)^(n-1)*p^n(n-1)^(n-1).
Hence the result.
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◆ From: 131.215.6.212
1F：推 wickeday :竟然真的有別的算法！感謝！ 05/03 17:21