作者yueayase (scrya)
看板Math
標題Re: [中學] 高中遞迴
時間Sun Apr 24 01:59:57 2011
※ 引述《ntnusliver (炸蝦大叔~~)》之銘言：
: ※ 引述《icu (這是可以說的秘密)》之銘言：
: : a_n+2=3a_n+1-2a_n , a_2=7, a_6=127 求 a_10
: : 答案應該是2047
: : 小弟的方法就是一直做上去
: : 不曉得有沒有更漂亮的作法
: : 不然真的超麻煩又容易錯
: a_n+2 - a_n+1 = 2 [a_n+1 -a_n]
: 令 b_n= a_n - a_n-1 => b_n是等比數列 公比2
: 120= a_6 - a_2 = b6 + b5 + b4 +b3
: a_10 - a_6 = b10 + b9 +b8 +b7 = 16( b6 + b5 + b4 +b3 )=1920
: => a_10 = 2047
既然都做到這裡(a_n+2 - a_n+1 = 2 [a_n+1 -a_n])了
何不用現有的知識,推出一般式:
如你所見b 是公比是2的等比級數
n
n n-1
則, b = 2 b = 2 (a - a)
n 0 1 0
n-1
因為 b = a - a = 2 (a - a )
n n n-1 1 0
n-1
則 a - a = 2 (a - a )
n n-1 1 0
n-2
a - a = 2 (a - a )
n-1 n-2 1 0
....
0
+ a - a = 2 (a - a )
1 0 1 0
-------------------------------
n-1 n-2 0
a - a = (2 + 2 + ... + 2 )(a - a )
n 0 1 0
n
2 - 1
= ------- (a - a )
2 - 1 1 0
n
則 a = a + (2 - 1) (a - a )
n 0 1 0
2
=> a = a + (2 - 1)(a - a ) = 7
2 0 1 0
6
a = a + (2 - 1)(a - a ) = 127
6 0 1 0
=> 3a - 2a = 7
1 0
63a - 62a = 127
1 0
=> 20a = 20 => a = 1 => a1 = (7 + 2a )/3 = 3
0 0 0
n
所以 a = 1 + 2(2 - 1)
n
所以 a = 1 + 2 x 1023 = 2047
10
並且其他項都可以用以上一般式求出
Note: 可以注意到,只要a 和 a 的值,確定了之後,這個遞迴式的解就確定了
1 0
(或任給相異兩項的值也可)
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