時間Sat Apr 23 22:50:12 2011
想請問一下
lim f(x,y), (x,y) -> (0,0) 時的極限存在的充要條件 是否是沿任一路徑逼近(0,0)時極限皆相等且存在?
因為有本書上提到:
lim xsin(1/y), (x,y) -> (0,0)時 由夾擠定理
0 =< |xsin(1/y)| =< x , lim 0 =< lim|xsin(1/y)| =< lim x = 0
所以說其極限為 0 (但原函數在y = 0時無定義...)
但 lim lim xsin(1/y) 極限卻不存在 (這我覺得很奇怪 因為 0 =< |sin(1/y)| =< 1, 所以說極限不是0嗎?)
x>0 y>0
另外 在計算雙變數函數的極限時 是否一定要用夾擠或是定義來計算才是正確的呢?
有一說是令 x = rcosa, y = rsina, r->0+ 即可, 但是:
lim (xy^2)/(x^2 + y^4) = lim [(r^3)cos(a)sin(a)]/[(r^2)cos^2(a) + (r^4)sin^2(a)] = 0
但用 x = my^2 代入, 極限卻不存在 (我知道用 x = (r^2)cosa 可以解決這個問題...)
最後 想請問當 0 < a < 1 時, lim x^a, x->0+ 時極限是否存在
感謝囉~
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1F：推 deepwoody :用極座標你要確定跟角度無關才可以 04/23 23:17
2F：→ deepwoody :也就是換極座標之後 函數不能還有a 04/23 23:17
3F：→ deepwoody :這樣才是確保每個逼近路徑都可以 04/23 23:17
4F：→ keroro321 :第一個例子 04/23 23:21
5F：→ keroro321 :y= 0 除非函數另外定義 否則那一條線並不能算是路徑 04/23 23:21
6F：→ keroro321 :沿著路徑趨近這句話 路徑一定要在函數的定義範圍 04/23 23:21
7F：→ keroro321 :當函數極限在p"存在"時 沿著任一路徑逼近那點p時 04/23 23:22
8F：→ keroro321 :極限一定存在且相等 04/23 23:22
9F：→ keroro321 :但是反過來是不對 04/23 23:22
10F：→ keroro321 :補一下-- 不對的原因 是因為考慮到定義域的問題 04/24 00:28
11F：→ keroro321 :你的定義域 會影響路徑可能的選擇 04/24 01:04
12F：→ keroro321 :定義域如果 像|R^n的 open ball 04/24 01:05
13F：→ keroro321 :反過來是有可能成立 我要檢查一下@@ 04/24 01:06
14F：→ keroro321 :R^n open set 是可以的!. 注意的是 一般是不對的.. 04/24 01:36
※ 編輯: hsnuyi (118.168.234.12 臺灣), 03/03/2020 23:38:52