※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言： : ※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言： : : 2. : : 設A為3x3的方陣。 : : 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| (兩個向量外積的絕對值) : : (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1， : : 證明 Au x Av 和 Au x Aw也是互相垂直且長度為 1 : : (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立 ---------------------------------------------------------- 版友來函 關於數學板的 #1DUa5iTz 這篇 我後來拿去跟老師討論 他覺得 如果假設u v w 為 100 010 001的話 A的內容就變了 ------------------------------------------------------------ 謝謝版友對我的解答 非常認真看待 問題關鍵是 對任何三維向量u、v 均有 |Au x Av| = |u x v| 所以 我們準備考慮很多種情形 以便得到 A 的樣貌 let A =[x y z] where x, y, z are column matrices (i) u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, 則 Au=x, Av=y |Au ×Av|=|x ×y|=|u ×v|=1...........(1) (ii) u=[0 0 1]^t, v=[1 0 0]^t, |Au ×Av|=|z ×x|=|u ×v|=1---------(2) (iii) u=[0 1 0]^t, v=[0 0 1]^t, |Au ×Av|=|y ×z|=|u ×v|=1..........(3) (iv) u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t, |Au ×Av|=|(x+z) ×y|=|x ×y+z ×y|=|u ×v|=√2..........(4) (v) u=[1 1 0]^t, v=[0 0 1]^t, |Au ×Av|=|(x+y) ×z|=|x ×z+y ×z|=|u ×v|=√2..........(5) (vi) u=[0 1 1]^t, v=[1 0 0]^t, |Au ×Av|=|(y+z) ×x|=|y ×x+z ×x|=|u ×v|=√2..........(6) 由 (1),(3),(4)可知 x ×y 和 y ×z 互相垂直 由 (1),(2),(6)可知 x ×y 和 z ×x 互相垂直 由 (2),(3),(5)可知 y ×z 和 z ×x 互相垂直 因此 x ×y, y ×z, z ×x 是兩兩垂直的單位向量 可做為三度空間中的么正基底 但 x 和 (x ×y) 互相垂直 x 和 (z ×x) 互相垂直 故 x=a(y ×z).................(7) 同理 y=b(z ×x)..................(8) z=c(x ×y)..................(9) |(7) ×(8)|=|x ×y|=1=|ab| |(y ×z) ×(z ×x)|=|ab|......(10) 同理 |bc|=1....(11) |ca|=1.....(12) (10) ×(11) ×(12) 得 |abc|=1............(13) (13)/(11) 得 |a|=1 同理 |b|=|c|=1 因此 x, y, z 是兩兩垂直的單位向量 又 A=[x y z] A^t.A=[x^t.x x^t.y x^t.z]=[1 0 0]=I [y^t.x y^t.y y^t.z] [0 1 0] [z^t.x z^t.y z^t.z] [0 0 1] : : (1) 設u、v、w為三維向量，互相垂直且長度為 1， : : 證明 Au ×Av 和 Au ×Aw也是互相垂直且長度為 1 (Au ×Av)‧(Au ×Av) = (Au ×Av)_i (Au ×Av)_i =ε_{ijk} (Au)_j (Av)_k ε_{imn} (Au)_m (Av)_n =(δ_{jm} δ_{kn}-δ_{jn}δ_{km})(Au)_j (Av)_k (Au)_m (Av)_n =(Au)_j (Av)_k (Au)_j (Av)_k - (Au)_j (Av)_k (Au)_k (Av)_j =(u^t.A^t.A.u)(v^t.A^t.A.v)-(u^t.A^t.A.v)^2 =(u^t.u)(v^t.v)-(u^t.v)^2=1 類似 (Au ×Av)‧(Au ×Aw) = (Au ×Av)_i (Au ×Aw)_i =ε_{ijk} (Au)_j (Av)_k ε_{imn} (Au)_m (Aw)_n =(δ_{jm} δ_{kn}-δ_{jn}δ_{km})(Au)_j (Av)_k (Au)_m (Aw)_n =(Au)_j (Av)_k (Au)_j (Aw)_k - (Au)_j (Av)_k (Au)_k (Aw)_j =(u^t.A^t.A.u)(v^t.A^t.A.w)-(u^t.A^t.A.v)(u^t.A^t.A.w) =(u^t.u)(v^t.w)-(u^t.v)(u^t.w)=0 ------------------------------------------------------------ : : (2) 證明 |Au| = |u| 對所有三維向量u 均成立 ------------------------------------------------------------ Au‧Au=u^t.A^t.A.u=u^t.u=u‧u ------------------------------------------------------------- 以前寫的 : let A =[x y z] where x, y, z are column matrices : let u=[1 0 0]^t, v=[0 1 0]^t, w=[0 0 1]^t : then : |x×y|=|y×z|=|z×x|=1 : let u=[1 0 1]^t, v=[0 1 0]^t : then |(x+z)×y|=√2 : |x×y+z×y|=√2 : by Pythagorean Theorem : (x×y) and (y×z) are othogonal : Similarly, (x×y)=e3, (y×z)=e1, (z×x)=e2 are all othonormal : [(y×z)^t] [x y z]=[x.(y×z) 0 0] : [(z×x)^t] [0 y.(z×x) 0]=x.(y×z) I : [(x×y)^t] [0 0 z.(x×y)] : hence x=(x.e1) e1 : y=(y.e2) e2 : z=(z.e3) e3 : then x=±e1, y=±e2, z=±e3 : then A.A^t=I : Done. --

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