作者Sfly (topos)
看板Math
標題Re: [中學] 極小值
時間Wed Apr 13 18:48:54 2011
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: : 試求以下三題的極小值
: : (3) 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
: 謝謝大家的回答
: 我是想比較一下大家的作法
: 以下是我的作法
: K=4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
: 令y固定 (這就是偏微分的精神)
: 則 K=(2x+y-3)^2+9y^2-8y-(y-3)^2≧9y^2-8y-(y-3)^2
: K≧8y^2-2y-9=8(y-1/8)^2-9-1/8≧-73/8
: 根據以上的精神
: 求 4x^2+9y^2+8z^2+4xy+10yz+4zx-24x-8y+10z 的極小值
: K=(2x+y+z-6)^2+9y^2+8z^2+10yz-8y+10z-(y+z-6)^2
: K≧7z^2+8yz+22z+8y^2+4y-36=8(y+z/2+1/4)^2+7z^2+22z-36-8(z/2+1/4)^2
: K≧7z^2+22z-36-8(z/2+1/4)^2=5z^2+20z-73/2=5(z+2)^2-73/2-20≧-113/2
我的做法是考慮二次型 f(x,y,z)=4x^2+4xy+9y^2-12xz-8yz
這對應到方陣
[ 4 2 -6] [ 4 0 -6] [4 0 0] [4 0 0]
[ 2 9 -4] ~ [ 0 8 -1] ~ [0 8 -1] ~ [0 8 0]
[-6 -4 0] [-6 -1 0] [0 -1 -9] [0 0 -73/8]
x,y,z x'=x+y/2 x''=x+y/2-2z/3 y'=y-z/8
(以上對稱矩陣求smith form的過程)
f(x,y,z)= 4(x+y/2-2z/3)^2 + 8(y-z/8)^2 - (73/8)z^2
f(x,y,1)=4(x+y/2-2/3)^2+8(y-1/8)^2 - 73/8 >= -73/8.
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◆ From: 131.215.6.212
1F：推 JohnMash :推 04/13 19:40
2F：推 ntust661 :推!!漂亮的矩陣!! 04/13 21:53