作者kyoiku (所有狗類的主人)
看板Math
標題Re: [其他] 武器衝星機率問題
時間Sat Apr 2 18:52:03 2011
※ 引述《kyoiku (所有狗類的主人)》之銘言：
: /0.2 0.8 0 0 0 \
: |0.3 0 0.7 0 0 |
: P = | 0 0.4 0 0.6 0 | 是機率轉移矩陣
: | 0 0 0.5 0 0.5|
: \ 0 0 0 0 1 /
: w = (1 0 0 0 0) 是初期機率狀態分佈向量
: 設 P 之對角化 = ADB,
: 其中 A = (a_ij), B = (b_ij) = A^-1, D = diag(λ_1,λ_2,λ_3,λ_4,λ_5)
: 計算得：
: 1) λ_1 = 1, 其特徵向量 v_1 = (1 1 1 1 1)^t
: 2) 0.8 < λ_2 < 0.9
: 3) λ_3 = 0.4, 其特徵向量 v_3 = (28 7 -8 -10 0)^t
: 4) -0.3 < λ_4 < -0.2
: 5) -0.9 < λ_5 < -0.8
: 定義 w_n = wP^n = wA(D^n)B, (w_n)^(k) 為 w_n 之第 k 分量
: 則 (w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5) 代表剛好使用 n 張武卷從 1 星衝到 5 星的機率
: 平均張數 = Σ n{(w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5)}
: 又 (w_n)^(5) = (a_11)(b_15) + Σ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i)^n
: => (w_n)^(5) - [w_(n-1)]^(5)
: = Σ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)(λ_i)^(n-1)
: 所以平均張數 = ΣΣ_[i from 2 to 5] (a_1i)(b_i5)(λ_i - 1) * n * (λ_i)^(n-1)
: = Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)Σ n(λ_i)^(n-1)]
: = Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)(λ_i - 1)^(-2)]
: = Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)^(-1)] ... 答案
: 把 a_1i, b_i5, λ_i 的近似值求出來那平均張數就出來了，
: 我電腦之前 MATLAB 重灌洗掉了，先到這......
MATLAB 抓到了，
特徵矩陣 A =
0.4472 0.6671 -0.8868 -0.7944 -0.4821
0.4472 0.5648 -0.2217 0.4440 0.6208
0.4472 0.4220 0.2534 0.1837 -0.5296
0.4472 0.2405 0.3167 -0.3716 0.3190
0.4472 0 0 0 0
A^-1 = B =
0 0 0 0 2.2361
0.2722 0.6146 0.8036 0.5496 -2.2399
-0.4985 -0.3324 0.6647 0.9971 -0.8309
-0.3805 0.5671 0.4106 -0.9970 0.3997
-0.1536 0.5274 -0.7874 0.5692 -0.1555
對角矩陣 D =
1.0000 0 0 0 0
0 0.8773 0 0 0
0 0 0.4000 0 0
0 0 0 -0.2471 0
0 0 0 0 -0.8302
平均張數 = Σ_[i from 2 to 5] [(a_1i)(b_i5)(λ_i - 1)^(-1)]
= 11.1636
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◆ From: 125.229.240.137
1F：→ kyoiku :67/6 = 11.1667, 和 ERT312大的答案差不多 04/02 18:54