作者microball (無華之果)
看板Math
標題一點微方的心得
時間Sun Mar 27 14:05:40 2011
以下是自己念到微方的一點心得，
因為在平常ODE的書上好像都沒看到，所以分享一下(有錯請指教)
如果把微分當作線性算子，那麼有以下值得一背的公式：
http://en.wikipedia.org/wiki/Shift_theorem
>> D[f*exp(ax)] = (D+a)[f]* exp(ax) --- 公式(I)
可以推廣並用數學歸納法證明，令 p(D) 為微分算子多項式，
>> p(D)[f*exp(ax)] = ( p(D+a)[f] ) *exp(ax) ---公式(II)
這個公式可以很快速的推導出一些常微方的特解。
◎例一： f'+ af = g, (其中 f,g 都是 t 的函數)
=> (D+a)f = g, 利用公式，我們知道 (D+a)f = [ D(f*exp(ax)) ]*exp(-ax)
=> D(f*exp(ax)) = g*exp(ax), 積分一次，記得有個常數
=> f*exp(ax) = ∫g*exp(ax)dx + C , 兩邊除掉 exp(ax) 就得到 f 的特解。
◎例二： f''+ mf' + n = g
=> 配方後得到 [(D+a)^2 - b] f = g, 其中 a = m/2, b = (m*m/4) -n
=> (D+a)(D+a)f = g+bf, 利用公式，(D+a)(D+a)f = [DD(f*exp(ax))] *exp(-ax)
=> DD(f*exp(ax)) = (g+bf)*exp(ax)
積分兩次後再整理，就可以得到 f 的特解。
--
才華不會令人幸福，而自私卻能解除人的痛苦。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 98.221.193.148
※ 編輯: microball 來自: 98.221.193.148 (03/27 14:07)
1F：推 ntust661 :推^^ 03/27 14:08
2F：推 endlesschaos:周易的寫真秘笈上面有提到這些 其他類似的還有 03/27 14:14
3F：→ endlesschaos:L(D) * e^(ax) = L(a) * e^(ax) 03/27 14:14
4F：→ endlesschaos:L(D) cos(ax+b) or sin(ax+b) = L(- a^2) cos(ax+b) 03/27 14:15
5F：→ endlesschaos:or L(- a^2) * sin(ax+b) 其中L(D)為D的多項式 以 03/27 14:16
6F：→ endlesschaos:上所提到的包括原PO所述用在逆運算子亦可適用 03/27 14:17
7F：推 herstein :微分是線性算子沒錯.... 03/27 15:09