※ 引述《superlori (雪夜，好久不見)》之銘言： : Let I be the ideal generated by 5 in Z[√-3]. : Is I a prime ideal? : Is I a maximal ideal? : (1) : 我覺得5是prime element in Z[√-3] : 但要怎麼證明呢? : 剛爬了一下文...好像是要用norm? Z[√-3] 裡的元素都寫成 a+b√-3的樣子 a,b是整數 令 N(a+b√-3) =a^2 + 3b^2 可以推出 如果α是5的倍數 那麼 N(α)也是5的倍數 N(a+b√-3)N(c+d√-3)=N((a+b√-3)(c+d√-3)) ____________________________________________________________ If α=a+b√-3 β=c+d√-3 a,b不全是5的倍數 c,d不全是5的倍數 => N(a+b√-3)=a^2 + 3b^2 不是5的倍數 N(c+d√-3) 不是5的倍數 => N((a+b√-3)(c+d√-3)) = N(a+b√-3)N(c+d√-3) 不是5的倍數 因此 (a+b√-3)(c+d√-3) 不是5的倍數 所以 5 is a prime : (2) : 我只有寫出5在Z[√-3]裡是一個irreducible element. : 可以說 I=(5) 就是一個maximal ideal嗎? : 我記得要Z[√-3]PID才可以推得 : 請問這題要怎麼證呢? 直接爆破法 證Z[√-3]]/(5) 是field 下面是每個非0元素的乘法反元素 in Z[√-3]]/(5) 2*3 =6 =1 4*4 =16 =1 (√-3)*(3√-3)=-9 =1 (2√-3)(4√-3)=-24 =1 (1+√-3)(4+√-3)= (1+√-3)(4-4√-3)=4(1+√-3)(1-√-3) =1 (1+2√-3)(2+√-3)=(1+2√-3)(2-4√-3)=2(1+2√-3)(1-2√-3)=1 (1+3√-3)(2+4√-3)=2(1+3√-3)(1-3√-3)=1 (1+4√-3)(4+4√-3)=4(1+4√-3)(1-4√-3)=1 (2+2√-3)(2+3√-3)=1 (3+√-3)(4+2√-3)=1 (3+2√-3)(3+3√-3)=1 (3+4√-3)(4+3√-3)=1 ---------------------------------------------------- 其實只要找完 1 2 3 4 的反元素就夠了 a+b√-3的情況 (a+b√-3)(a-b√-3)= a^2 + 3b^2 當a,b都不是5的倍數時 a^2 + 3b^2 也不是5的倍數 所以 (a+b√-3)(a-b√-3)再去乘 a^2 + 3b^2 的反元素就可以得到1了 : ===================================== : 麻煩大家指點一下 : thx --

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