作者suker (..)
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標題Re: [微積] 一題積分
時間Sat Mar 12 20:39:49 2011
※ 引述《bolyai (edsfs)》之銘言：
: 求
: 1 ln(1+x)
: ∫--------- dx =?
: 0 1+x^2
: 非常感激!
這個2個方法上網找到
不過不好想 提供你參考
法1.
令x=tant dx=sec^2t dt
π/4
∫ ln( 1+ tant) dt
0
π/4
= ∫ ln ((sint+cost)/cost) dt
0
π/4 π/4
= ∫ ln (sint+cost) dt -∫ ln (cost) dt
0 0
π/4 π/4
= ∫ ln (√2 *sin(t+π/4))dt -∫ ln (cost) dt
0 0
令u= π/4 -t du= -dt
0 π/4
= ∫ -ln (√2 *sin(π/2 -u) du - ∫ ln (cost) dt
π/4 0
π/4 π/4
= ∫ ln (√2 *sin(π/2 -u) du - ∫ ln (cost) dt
0 0
π/4 π/4
= ∫ ln (√2 *cosu) du - ∫ ln (cost) dt
0 0
令u= Y ; t=Y
π/4 π/4
= ∫ ln (√2 *cosY) dY - ∫ ln (cosY) dY
0 0
π/4
= ∫ {ln (√2 *cosY) -ln(cosY) } dY
0
π/4
= ∫ ln √2 dY
0
= ln √2 *(π/4)
=ln2 *(π/8)
------------------------------------------------------------
法2
1 ln(1+x)
∫ --------- dx =?
0 1+x^2
-2
令x =(1-t)/(1+t) , dx = ----------- dt
(1+t)^2
1 ln (1+x) 0 ln (1+ (1+t)/(1-t)) -2
∫ --------- dx = ∫ ------------------------------ ----------dt
0 1+x^2 1 1+ (1-t)^2 /(1+t)^2 (1+t)^2
0 ln (2 /(1-t))
= ∫ -------------------- * (-2) dt
1 (1+t)^2 +(1-t)^2
0 ln (2) - ln (1-t)
= ∫ ------------------- *(-2) dt
1 2(1+t^2)
1 ln2 -ln(1-t)
= ∫ ---------------------- dt
0 1+t^2
1 ln2
= ∫ -------- - 原式
0 1+t^2
1 ln2 1
=====> 2*原式= ∫ ------- dt= ln2 * arctant ｜ = (π/4)*ln2
0 1+t^2 0
原式= (π/8)*ln2
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1F：→ a016258 :Push 03/12 20:42
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2F：推 suhorng :推 03/12 23:07