我個人覺得δ-ε對很多人來講,當然是不好理解, 因為高中大多注重運算技巧,而不大講究邏輯推論, 所以再碰到δ-ε敘述時,會不知道它在講什麼, 看看δ-ε敘述定義極限: lim f(x) = v means: x->u For every ε > 0, there exist δ > 0 such that if 0 < |x-u| < δ, then |f(x)-v| < ε 如果從直覺的角度來看, 我想找出lim f(x), 似乎就是找一個u'試試看, x->u 看f(u')的值是多少,然後不斷縮小u和u'的誤差,觀察看看 f(u')是否會向某個定值 趨近(v) 但是,數學似乎無法容忍這樣不明確的敘述(??),像什麼叫做不斷縮小(靠近u), 什麼叫做趨向某定值,而且真的會趨近它嗎,會不會在u''< u'時,得到f(u'')>f(u') 之類,種種不確定性 所以數學家才發明出一邏輯敘述,來說明以上的問題,而發現到這樣的方式, 是極具說服力的, 我不需要說明用什麼樣的方式去靠近,或是有多接近,我只要(任意)給定一個和我 預期的目標(v)一個誤差值(ε), 我必定可以在定義域找到一個和u距離差δ的區間, 並且在這個區間中,每一個算出來的函數值,和我預期的v,誤差絕不超過, 我給訂的ε 如此一來,似乎就更能肯定lim f(x) = v x->u 但其實上面的解說或許還是有諸多語病,似乎也沒有把一些細節說清楚, 像: (1) 照邏輯敘述看,應該是先隨便給一個ε,然後就固定了,才去看看說 δ是否存在,且要能保證,你不管ε的值是多少,邏輯敘述都要成立, every, exist的順序應該是不能顛倒的,雖然我的直覺是,一直去 試x,找出極限值 似乎 δ 是和ε相依的, 或可說δ是ε的函數(δ(ε)) (2) if 0 < |x-u| < δ 這句話很有趣, 為什麼要大於0? |f(x)-v| < ε沒有啊, 其實這就是極限有趣的地方, 觀念是:我根本就不是要求f(u),而是去找f(x)在u附近的近似值, 而很多情況下是很難直接找到,真正的解答(例如:算瞬時速度) 所以我只好去逼近它 但我要的目標不是近似值啊!! 所以只好觀察看看數值變化了趨勢,看是否x越來越靠近u時, 會去趨向某定值,這應該是我要的答案 但畢竟不是去算f(u)(或根本無法直接求得), 所以這個大於0,要說的應該是"趨近"u但"不等於"u (3) 當 ε'< ε, 會不會出現 δ' > δ, 感覺上是不會,因為δ'起碼可取為δ(從邏輯敘述) 但 δ' < δ 嗎? 似乎無法確定... 以上是我目前為止對δ-ε敘述的認知,如果觀念有錯, 希望告訴我哪裡錯了,謝謝各位 ------------------------------------------------------------------------- 看了以上冗長的敘述(不管對或錯),δ-ε敘述並不是一般人能夠馬上去了解的, 更不用說體會它的精神, 感覺上一個邏輯敘述似乎有很多細節是人類容易去忽略的,而這些忽略,在往後 很有可能造成一些解題上的麻煩,但又不可能一次注意到太多(重要)的細節, 所以個人覺得,數學上最難的好像是邏輯集合論(要辨認一句敘述的對錯,需要 足夠的經驗和敏銳的思考) _________ __________ 所以一開始搞不懂,其實沒有太大的關係 而其實數學上,也不是只有在搞定理證明,像如果學組合學的話, 有些東西實在是比較注重計算技巧(或可說是根本就在教計算技巧) Ex: Solve recurrence equation 有些著重在對問題的分析,像排列組合和機率,工具其實不是用很多, 但很重觀念和分析題目 當然如果是XX分析,就是和高微差不多的樣子,重邏輯思考和一些不等式的技巧 而計算理論是資工系的理論,它本身也是注重邏輯思考的 這種東西,定義定理一定要抓得很牢,否則不但習題不會作, 而且後面也有可能看不懂 以上是我對數學的認知 但我覺得看這些數學工具和定理的觀點,終究會影響對數學學習結果 例如:好不好去記,好不好去了解或去舉例(舉反例) 所以一開始可以先不去管太細的東西,多去請教老師或大師, 會有不同的感受 --

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